Este es el ejercicio 3.5.17 de Velleman:
Supongamos que $\mathcal F$ , $\mathcal G$ y $\mathcal H$ son familias de conjuntos no vacías y para cada $A \mathcal F$ y cada $B \mathcal G$ , $A B \mathcal H$ . Demostrar que $\mathcal H (\mathcal F) (\mathcal G)$ .
Y aquí está mi prueba de ello:
Prueba. Sea $x$ sea un elemento arbitrario de $\mathcal H$ . Ahora tenemos que considerar dos casos:
Caso 1. $x \mathcal F$ . Por lo tanto, ciertamente $x (\mathcal F) (\mathcal G)$ .
Caso 2. $x \mathcal F$ lo que equivale a $A \mathcal F(x A$ ). En $A \mathcal F(x A$ ) y $x \mathcal H$ tenemos $A \mathcal H$ de lo que podemos concluir $B \mathcal H$ . Desde $B \mathcal H$ y $x \mathcal H$ entonces $x \mathcal G$ . Ergo $x (\mathcal F) (\mathcal G)$ .
Ya que de ambos casos obtenemos $x (\mathcal F) (\mathcal G)$ y $x$ era arbitraria, entonces $\mathcal H (\mathcal F) (\mathcal G)$ .
¿Es válida mi prueba? Especialmente esta parte: "De $A \mathcal F(x A$ ) y $x \mathcal H$ tenemos $A \mathcal H$ de lo que podemos concluir $B \mathcal H$ ".
Gracias de antemano.
