Cómo demostrar que esta secuencia es Cauchy

Question

Demuestre directamente (a partir de la definición) que si

$$x_n=1+\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!}\;,$$

entonces $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy.

Answer 1

Tome $n>m$ .

$$\begin{align}|x_n - y_m| = \Big|\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} - \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{l!}\Big| &= \Big|\sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k!}\Big| < \Big|\sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}}\Big| \\ &< \Big|\sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}}\Big|= \Big|\frac{\frac{1}{2^{m+1}}}{1-\frac{1}{2}}\Big| = \frac{1}{2^{m}} \end{align} $$

Answer 2

Como usted mismo ha comentado, el consejo útil aquí es $n!>2^{n-1}$ .

Calcula $|x_p-x_q|$ dado que $p>q$ . Compruebe que esto tiende a $0$ cuando $q\to\infty$ no importa lo lejos que esté $p$ y $q$ son.

(La pista -es decir, mi se expresa de manera deliberadamente informal).