Encuentre $abc$ donde $a^2+b^2+c^2=144$ y $ab+bc+ca=144$

Question

La superficie total de un cuboide es de 288 cm2 y la longitud de una diagonal del mismo es de 12 cm. Encuentra su volumen. Esta es la pregunta. Sabemos que la diagonal = $a^2+b^2+c^2$ y la superficie = $2(ab+bc+ca)$ y el volumen = $abc$ . Así que finalmente tenemos que encontrar el valor de $abc$ donde $$a^2+b^2+c^2=144$$ y $$ab+bc+ca =144 .$$ Que alguien me ayude, por favor.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=2(144-144)=0$$ lo que implica que $a=b=c$ .

Answer 2

Por el desigualdad de reordenación , si $a,b,c>0$ tenemos $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$$ y la igualdad se produce sólo en $a=b=c$ . Así que, resumiendo, su restricción asegura que el cubo es realmente un cubo (tiene la longitud diagonal más corta para una superficie dada).

Answer 3

Una pista:

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+cc \Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$$

Answer 4

$\newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$$\left.\begin{array}{rcrcrcl} \ds{a^{2}} & \ds{+} & \ds{b^{2}} & \ds{+} & \ds{c^{2}} & \ds{=} & \ds{144} \\ \ds{ab} & \ds{+} & \ds{bc} & \ds{+} & \ds{ca} & \ds{=} & \ds{144} \end{array}\right\}\,,\qquad \mbox{Lets}\quad \left\{\begin{array}{rcl} \ds{\mathbf{u}} & \ds{\equiv} & \pars{\begin{array}{c}\ds{a} \\ \ds{b}\\ \ds{c}\end{array}} \\[2mm] \mathsf{M} & \ds{\equiv} & \ds{\pars{% \begin{array}{ccc} \ds{0} & \ds{1} & \ds{0} \\ \ds{0} & \ds{0} & \ds{1} \\ \ds{1} & \ds{0} & \ds{0} \end{array}}} \end{array}\right.$$

Lo anterior $\ds{a,b,c}$ las condiciones son equivalentes: $$\mathbf{u}^{T}\mathbf{u} = \pars{144}\quad\mbox{and}\quad \mathbf{u}^{T}\mathsf{M}\mathbf{u} = \pars{144}\qquad \stackrel{\mbox{Lagrange Mult.}}{\implies} \qquad \mathsf{M}\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}$$

El único $\ds{\mathbf{u}}$ El vector propio con componentes reales es

$\ds{\mathbf{u} \propto \pars{\begin{array}{ccc}\ds{1} \\ \ds{1} \\ \ds{1} \end{array}}\implies a = b = c\implies\verts{a} = \verts{b} = \verts{c} = 4\root{3}}$ . Desde $\ds{a, b, c > 0}$ : $$\bbox[10px,#efe,border:0.1em groove navy]{a = b = c = 4\root{3}}$$ $$\begin{align} \end{align}$$