Cómo calcular la función normal de pérdida (no la distribución normal estándar)

Question

Tengo problemas para calcular la expresión del siguiente término:

$E[x-Q]^+$

donde $x$ es una v.r. normal con media $\mu$ y la varianza $V^2$ .

Quiero expresarlo en función de $\mu$ , $V^2$ con el parámetro $Q$ .

Agradeceré mucho si alguien puede ayudarme.

Answer 1

Por lo tanto, tenemos $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$ y están interesados en la pérdida $$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} L(\mu,\sigma;Q)= \E \left[ X-Q\right]^+$$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que si hemos encontrado la pérdida en el caso normal estándar, entonces $$L(\mu,\sigma;Q)= \E \left[X-Q\right]^+ =\sigma\E\left[ \frac{X-\mu}{\sigma} -\frac{Q-\mu}{\sigma}\right]^+=\sigma L(0,1;\frac{Q-\mu}{\sigma})$$ y luego para el caso normal estándar: $$L(0,1;Q)=\int_Q^\infty (x-Q)\phi(x)\; dx =\int_Q^\infty x\phi(x)\; dx -Q \int_Q^\infty \phi(x)\; dx = [-\phi(x)]_Q^\infty -Q(1-\Phi(Q))= \phi(Q) + Q(\Phi(Q)-1)=\phi(Q)-Q+Q\Phi(Q)$$ donde $\phi, \Phi$ son la densidad normal estándar y la fdc.