A qué velocidad disminuye la longitud de su sombra sobre el edificio cuando está a 4 m del mismo

Question

Un foco en el suelo ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina desde el foco hacia el edificio a una velocidad de 1,6 m/s, a qué velocidad disminuye la longitud de su sombra sobre el edificio cuando está a 4 m del mismo.

¿Cómo se resuelve este problema de palabras? He hecho un dibujo para averiguar la solución pero no he conseguido nada.

Sea x la distancia entre el hombre y el foco, la distancia entre él y el edificio será $12-x$ . $12-x=4$ significa $x=8$

En este punto no sé cómo proceder.

Por favor, ayuda

Answer 1

Como se ha señalado acertadamente en la sección de comentarios, se puede encontrar fácilmente la función de la longitud de la sombra del hombre proyectada en la pared utilizando triángulos similares:

$$\frac{2}{1.6t}=\frac{l(t)}{12}\implies l(t)=\frac{15}{t}\ m$$

Entonces, la función para la velocidad a la que disminuye la longitud de la sombra en la pared va a ser ésta:

$$ l'(t)=-\frac{15}{t^2}\ m/s $$

Está a 4 metros del edificio en ese momento: $$12-1.6t=4\implies t=5\ s$$

Y esto es lo rápido que disminuye la longitud de su sombra en la pared cuando está a 4 metros del edificio:

$$l'(5)=-\frac{15}{5^2}=-0.6\ m/s$$

Answer 2

La distancia del hombre $x = 12-4 =8 $ metros de los focos, $4$ veces la altura del hombre $h=2,$ que es constante para los triángulos semejantes siendo la relación de lados correspondiente.

$$ \frac{h}{x} = \frac{s}{12};\quad s.x =const $$

Diferenciando con respecto al tiempo,

$$ \frac{\dot s}{\dot x} = - \frac{s}{x} ;\, \frac{\dot s}{1.6}= - \frac{12/4}{8} \rightarrow \dot s= -0.6 $$

metros por segundo es la velocidad a la que se acorta la sombra.