Conservación del momento angular de una piedra que cae

Question

Actualmente estoy atascado en la siguiente pregunta.

Se deja caer una piedra desde un helicóptero estacionario a 500 metros del suelo, en el ecuador. ¿A qué distancia del punto situado verticalmente por debajo del helicóptero aterriza y en qué dirección? Resuelve este problema conservando el momento angular.

Mi interpretación actual es que cuando la piedra cae, para invertir el momento angular, la velocidad angular debe aumentar. Esto hace que la piedra se desplace hacia el este.

He igualado el momento angular al inicio L0=*(re+h) m Vo

donde re es el radio de la tierra, h es la altura sobre ella, m es la masa y Vo es la velocidad inital. Para el momento angular en cualquier momento

L=(re+h-1/2gt^2)m(Ve+Vo)

donde el término 1/2at^2 proviene de la aceleración gravitacional y Ve es la velocidad adicional.

Reorganicé para encontrar Ve y luego integré sobre el tiempo que tarda en caer los 500m para calcular la distancia extra que recorrió la piedra. Sin embargo, mi respuesta es la mitad de lo que debería ser. He comprobado las matemáticas y parece que están bien. Así que creo que mi configuración es incorrecta. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

A partir de la conservación del momento angular podemos derivar la velocidad angular en función de la altura:

$$\omega(h) = \omega_0 \left(\frac{R + h_0}{R+h}\right)^2$$

donde $\omega_o$ es la velocidad angular de la tierra, $R$ es el radio de la tierra, $h$ es la altura actual y $h_0$ es la altura inicial.

La velocidad horizontal (en el marco de referencia de la tierra) es

$$v(h) = (\omega_0-\omega(h))(R+h) =\\ \omega_0(R+h) - \omega_0\frac{(R+h_0)^2}{(R+h)}$$

Un poco más de manipulación da

$$v(h) = \frac{\omega_0}{R+h}\left((R+h)^2 - (R+h_0)^2 \right)\\ \approx\omega_0\frac{2R(h-h_0)}{R+h}\\ \approx2\omega_0(h - h_0)$$

(Las aproximaciones son válidas porque $R>>h$ ).

En otras palabras, la velocidad escala directamente con la diferencia de altura. En función del tiempo, escribimos

$$v(t) = 2\omega_0((h_0-\frac12gt^2)-h_0)\\ =-omega_0gt^2$$

Ahora nos integramos:

$$x = \int_0^T - \omega_0 gt^2 dt\\ = -\frac13\omega_0gT^3$$

donde $T$ es el tiempo que dura la caída, aproximadamente $T=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

Sustituyendo, obtenemos

$$x = -\frac13 \omega_0g\left(\frac{2h_0}{g}\right)^\frac32=24 cm$$

Como no nos has dicho cuál era la respuesta "correcta", o cuáles eran los detalles de tus cálculos, no puedo decir si esto resuelve tu problema...