Ejemplo de función con imagen abierta y acotada

Question

Estoy tratando de entender la intuición detrás de la continuidad y la acotación. Puede alguien darme un ejemplo de una función continua f: $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}$ cuya imagen está acotada y abierta?

¿Podría $f(x, y) := $ ${\sqrt {x^2+y^2}}$ ¿ser uno? Sé que esta función es continua?

Answer 1

Por ejemplo

$$g(x,y)=\arctan(x).$$

Entonces la imagen sería $\arctan(\mathbb R)=(-\pi/2,\pi/2)$ que está acotado y abierto.

La función

$$f(x,y)=\sqrt{ x^2+y^2}$$

que usted dio no está funcionando porque tome por ejemplo

$$f(n,0)=\sqrt{n^2}=\vert n\vert\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$$

por lo que la imagen no está acotada.

Answer 2

Toma $g:\mathbb{R} \to (-1,1)$ dado por $g(x)=\frac{x}{1+|x|}$ . Esto es continuo y sobreyectivo.

Considere ahora $\pi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ la proyección sobre la primera coordenada.

$f:=g \circ \pi$ satisface lo que quieres.