Cuadros de mosaico con L-Trominoes

Question

¿Existe una prueba sencilla de que cualquier cuadrado que no sea un cuadrado de 3x3 con área divisible por 3 es embaldosable con L-trominos?

Answer 1

He aquí una prueba de una afirmación más fuerte: el $L$ -tromino azulejos cualquier rectángulo con dimensiones $3a\times b$ si $a\ge 2, b\ne 1,3$ .

Obsérvese que el tromino L ciertamente azulea a $3a\times 2$ rectángulo (pila $3\times 2$ rectángulos entre sí), así que si podemos mostrar esto para $b=5$ habremos terminado (ya que todos los enteros positivos que no sean $1$ y $3$ son una suma de $2$ s y $5$ s).

Para hacer esto cuando $b=5$ combinamos dos rectángulos según sea necesario: el $6\times 5$ y el $9\times 5$ . Ambos pueden ser alicatados, como se ha visto:

                                           

Apilando lo necesario, obtenemos $3a\times 5$ rectángulos para todos $a\ge 2$ , lo que completa la prueba. El corolario $b=3a$ es inmediato.

Answer 2

Considere un $n \times n$ -cuadrado. Si $n$ es incluso la plaza puede ser cubierta por $2 \times 3$ - rectángulos. Si $n$ es impar, primero cubra el $(n-3) \times (n-3)$ -cuadrado en la esquina inferior izquierda. A continuación, coloque dos $3 \times (n-4)$ -rectángulos en la esquina superior izquierda y en la esquina inferior derecha (estos pueden ser cubiertos ya que $n-4$ es par). Lo que queda es un $4 \times 4$ -cuadrado al que le falta una esquina en el ángulo superior derecho (nótese que aquí utilizamos que $n>3$ ). Es fácil encontrar una cubierta para esto. (De hecho, un bonito teorema dice que cualquier $2^n \times 2^n$ -el cuadrado al que le falta un cuadrado se puede cubrir con $L$ -trominos: Prueba a $2^n$ por $2^n$ el tablero se puede llenar con trominos en forma de L y 1 monomino )

Por último, (aunque no se pregunte explícitamente) es fácil observar que un $3 \times 3$ -cuadrado no puede ser cubierto, porque para cubrir cada esquina necesitaríamos al menos $4$ trominos.