¿Qué significa la notación? $ \nabla u + \nabla u^T$ ?

Question

En mis ejercicios aparece ( $u:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ ):

$$ \nabla u + \nabla u^T$$

¿Qué significa esta notación al escribirla en términos de parciales de $u_i$ ?

Answer 1

Normalmente, cuando $u:\Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ definimos $$ \newcommand{\pwrt}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\\ \nabla u = \pmatrix{\pwrt {u_1}{x_1} & \pwrt {u_1}{x_2} & \pwrt {u_1}{x_3}\\ \pwrt {u_2}{x_1} & \pwrt {u_2}{x_2} & \pwrt {u_2}{x_3}\\ \pwrt {u_3}{x_1} & \pwrt {u_3}{x_2} & \pwrt {u_3}{x_3}\\} $$ En algunos contextos, se denomina en cambio el jacobiano de $u$ .

$M^T$ se refiere a la transposición de la matriz $M$ .

Answer 2

$M=\nabla u \; \;$ es un $(3\times 3)$ matriz con $$M_{i,j}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$

y

$$\nabla u^T=M^T=N$$ con $$N_{i,j}=M_{j,i}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$$ es la matriz de transposición de $M$ .