El más pequeño compactification

Question

He estado leyendo acerca de compactifications, y yo estoy muy familiarizado con la Piedra-Čech compactification, que puede ser considerado como el más grande compactification de un espacio.

Para un localmente compacto espacio de $X$, con el que estoy familiarizado con el punto de compactification es el más pequeño compactification de $X$. Me preguntaba, para cualquier espacio, podemos encontrar una pequeña compactification?

Answer 1

Teorema de 3.5.12 en Engelking: Si en la familia $\mathscr{C}(X)$ de todos los compactifications de un no-compacto Tikhonov espacio de $X$ existe un elemento $cX$, que es menor con respecto a la orden $\le$, $X$ es localmente compacto y $cX$ es equivalente a la Alexandroff compactification $\omega X$$X$.

Si $cX$ es un compactification de $X$, voy a identificar a $X$$c[X]$.

Prueba. Supongamos que $X$ tiene un menor compactification $cX$, y supongamos que hay distintos puntos de $x$ $y$ en el resto $cX\setminus X$. Vamos $Y=cX\setminus\{x,y\}$. $Y$ es un subespacio abierto de $cX$, por lo que es localmente compacto y tiene un punto de compactification $\omega Y$. Pero $\omega Y$ es un compactification $c_1 X$, y por hipótesis de $cX\le c_1 X$, por lo que existe una continua surjection $f:c_1 X\to cX$ tal que $f\upharpoonright X=\mathrm{id}_X$. $X$ es denso en $Y\subseteq\omega X=c_1 X$, e $\mathrm{id}_Y\upharpoonright X=\mathrm{id}_X=f\upharpoonright X$, lo $\mathrm{id}_Y=f\upharpoonright Y$. En otras palabras, $f$ es una función continua de $c_1 X$, un compactification de $Y$, a $cX$, otro compactification de $Y$, que corrige $Y$ pointwise. Pero esto es claramente imposible, ya que $|c_1 X\setminus Y|=1$$|cX\setminus Y|=2$. Por lo tanto, $cX\setminus X$ es un singleton, $X$ es localmente compacto, y es sencillo comprobar que $cX=\omega X$. $\dashv$

Answer 2

De acuerdo a Wikipedia, la respuesta es no. Más precisamente, un noncompact Tychonoff espacio que tiene un menor compactification si y sólo si tiene un punto de compactification (si y sólo si es localmente compacto). Así que basta encontrar un noncompact Tychonoff espacio que no es localmente compacto; $\mathbb{Q}$ es probablemente el ejemplo más conocido.