Simplificación de la energía de Willmore de un elipsoide

Question

La energía de Willmore mide lo "no esférica" que es una superficie lisa $S$ es. Se define por $$W(S)=\int_SH^2\,dA$$ donde $H$ es la curvatura media.

Para un toro de revolución con radios mayores y menores $a$ y $b$ respectivamente, donde $a>b$ si dejamos que $p=b/a$ entonces su energía de Willmore es se muestra fácilmente para ser $\frac{\pi^2}{p\sqrt{1-p^2}}$ que alcanza su mínimo en $p=1/\sqrt2$ . La conjetura (probada) de Willmore afirma que el toro así obtenido tiene la mínima energía entre todos los géneros- $1$ superficies de $2\pi^2$ . Saqué a Blender a pasear y produje un render de este "donut perfecto":

Ahora quiero calcular la energía de Willmore de un elipsoide. En este género- $0$ caso los resultados extremos son fáciles de obtener: $W(S)\ge4\pi$ y la igualdad se alcanza si $S$ es una esfera. Pero sigo queriendo resultados numéricos para divertirme. Utilizando las formas fundamentales (y cotejando con este ), encontré que para un elipsoide $E$ con semiejes $1,a,b$ : $$W(E)=\frac{a^2b^2}4\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\frac{(a^2+b^2+(1-(a\cos u)^2-(b\sin u)^2)\sin^2v)^2\sin v}{((ab\cos v)^2+((a\sin u)^2+(b\cos u)^2)\sin^2v)^{5/2}}\,dv\,du$$ que no puedo simplificar más.

¿Tiene la integral doble anterior una forma más sencilla o incluso cerrada?

O lo estoy haciendo mal, por lo que me sería más fácil utilizar ecuaciones implícitas como se ha planteado aquí ?

Editar : Utilizando las coordenadas elipsoidales de Zhou, tal y como sugiere Jean Marie en los comentarios, he obtenido una expresión utilizando sólo integrales simples. Para un elipsoide $E$ con semiejes $a>b>c>0$ dejar $$R_\eta(k)=\int_{c^2}^{b^2}\frac{\eta^k}{\sqrt{(a^2-\eta)(b^2-\eta)(\eta-c^2)\eta}}\,d\eta$$ y $$R_\zeta(k)=\int_{b^2}^{a^2}\frac{\zeta^k}{\sqrt{(a^2-\zeta)(\zeta-b^2)(\zeta-c^2)\zeta}}\,d\zeta$$ Entonces $$W(E)=\frac{(abc)^2}2(R_\eta(-2)R_\zeta(1)+R_\eta(-1)R_\zeta(0)-R_\eta(0)R_\zeta(-1)-R_\eta(1)R_\zeta(-2))$$ Edición 2 : La expresión anterior puede simplificarse a $$W(E)=\frac{(abc)^2}2(R_\eta(-2)R_\zeta(1)-R_\eta(1)R_\zeta(-2))+\pi$$

Answer 1

Para un elipsoide $E$ con semiejes $a\ge b\ge c>0$ , defina $$A=a^2,B=b^2,C=c^2,\varphi=\cos^{-1}\frac ca$$ $$g=\sqrt{(A-C)B},m=\frac{(B-C)A}{(A-C)B}$$ Entonces $$\color{red}{\begin{align}W(E)=\frac\pi{3ABC}&\Big(C(5AB+2AC+2BC)\\ &+2(AB+AC+BC)E(\varphi,m)g\\ &+BC(AB+AC+2BC-A^2)F(\varphi,m)/g\Big)\end{align}}$$ Si $b=c$ (el caso esferoidal) la fórmula anterior se simplifica a $$W(E)=\frac{\pi A\varphi}g+\frac\pi3\left(7+\frac{2B}A\right)$$ mientras que si $a=b=c$ entonces $E$ es una esfera y $W(E)=4\pi$ . Para el caso esferoidal, si $a>b$ no importa, las partes complejas se anulan.

Todas las integrales elípticas de esta respuesta utilizan la misma interpretación de argumentos que sus implementaciones en Mathematica y mpmath.

---

Esto es el resultado de una larga y tediosa simplificación de las ocho integrales en la expresión resultante del uso de las coordenadas elipsoidales de Zhou. En las ecuaciones siguientes $g=\frac2{\sqrt{(A-C)B}}$ y donde $m$ aparece en una fórmula para $R_\zeta(\cdot)$ su valor es $1-m=\frac{(A-B)C}{(A-C)B}$ y no $\frac{(B-C)A}{(A-C)B}$ . $$R_\eta(1)=Cg\Pi\left(\frac{B-C}B,m\right)$$ $$R_\zeta(1)=g\left((B-C)\Pi\left(\frac{A-B}{A-C},m\right)+CK(m)\right)$$ $$R_\eta(0)=gK(m)$$ $$R_\zeta(0)=gK(m)$$ $$R_\eta(-1)=\frac gA\left(K(m)+\frac{A-C}CE(m)\right)$$ $$R_\zeta(-1)=\frac gC\left(K(m)+\frac{C-A}AE(m)\right)$$ $$R_\eta(-2)=\frac g{3A^2BC^2}\begin{pmatrix}C(2BC+AB+AC-A^2)K(m)\\+2(A-C)(AB+AC+BC)E(m)\end{pmatrix}$$ $$R_\zeta(-2)=\frac g{3A^2BC^2}\begin{pmatrix}A(2AB+AC+BC-C^2)K(m)\\+2(C-A)(AB+AC+BC)E(m)\end{pmatrix}$$ Los términos $R_\eta(-1)R_\zeta(0)-R_\eta(0)R_\zeta(-1)$ en la expresión principal se simplifica a sólo $\frac{2\pi}{ABC}$ . Los otros dos términos se simplifican en una expresión más complicada, pero que no implica ningún signo integral.

---

Aquí está el código Python para calcular la energía de Willmore:

from mpmath import *

def W_ellipsoid(a, b, c):
    c, b, a = sorted([fabs(a), fabs(b), fabs(c)])
    if c == 0: return inf
    if a == c: return 4*pi
    A, B, C = a*a, b*b, c*c
    g = sqrt((A-C)*B)
    phi = acos(c/a)
    m = ((B-C)*A) / ((A-C)*B)
    return pi/(3*A*B*C) * ( C*(5*A*B + 2*A*C + 2*B*C)
                          + 2*(A*B + A*C + B*C)*ellipe(phi, m)*g
                          + B*C*(A*B + A*C + 2*B*C - A*A)*ellipf(phi, m)/g )

def W_spheroid(a, b):
    a, b = fabs(a), fabs(b)
    if a == 0 or b == 0: return inf
    if a == b: return 4*pi
    A, B = a*a, b*b
    g = sqrt((A-B)*B)
    phi = acos(b/a)
    return re(pi*(A*phi/g + (7+2*B/A)/3))