El laplaciano vectorial en la teoría de las ondas electromagnéticas

Question

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo obtenemos las ecuaciones de onda regulares a partir de las ecuaciones de Maxwell cuando el vector Laplaciano está definido de la manera en que lo está. Tenemos la ecuación diferencial para las ondas en la forma $$ \nabla^{2} \mathbf{E}=\mu \epsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$ y soluciones de la forma $$\tilde{\mathrm{E}}(z, t)=\tilde{\mathrm{E}}_{0} e^{i(\bar{k} z-\omega t)}$$ (esto es de las ecuaciones de Maxwell para un conductor).

Al expandir el vector Laplaciano obtenemos: $$\nabla^{2} \mathbf{E}= \left(\nabla^{2} E_{x}, \nabla^{2} E_{y}, \nabla^{2} E_{z}\right)$$ pero entonces tenemos el problema de tener que expandir estos laplacianos para encontrar por ejemplo en las direcciones x: $$\frac{\partial^{2} E_x}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_x}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_x}{\partial z^{2}}=\mu \epsilon \frac{\partial^{2} E_x}{\partial t^{2}}+\mu \sigma \frac{\partial E_x}{\partial t}$$ que no es la ecuación de onda estándar.

¿Es esta la forma real y cuando resolvemos la ecuación de onda estamos asumiendo que algunos componentes son cero o he metido la pata en algún sitio/no lo estoy entendiendo correctamente?

Answer 1

En general, una derivada de primer orden en una ecuación de onda representa un término disipativo (piense en las EDO: fricción para un oscilador armónico amortiguado o resistencia en un circuito RLC).

Este término está presente en su ecuación de onda porque se trata de un medio conductor. La amplitud de la onda EM resultante decaerá exponencialmente.

Answer 2

Si se trata de un campo E en el vacío o en un medio neutro, la ley de Gauss dice que $$\nabla \cdot {\bf E} = 0$$

Para cualquier solución de onda de la forma ${\bf E} = {\bf E_0} f({\bf k}\cdot {\bf r} - \omega t)$ entonces esto significa que ${\bf E_0}\cdot {\bf k} = 0$ .

Por lo tanto, si su campo E está en la dirección x, entonces $k$ debe ser perpendicular a la dirección x y ${\bf k} \cdot {\bf r} = k_y y + k_z z$ (en general).

Esto significa que su ecuación final tiene un término que es cero $$\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = 0$$

Así, $$\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^{2} E_x}{\partial t^{2}}+\mu \sigma \frac{\partial E_x}{\partial t}$$

Esto sigue siendo una ecuación de onda, que permite que la onda se desplace en cualquier dirección perpendicular a la $x$ -eje. El último término es sólo un término de amortiguación que hace que la amplitud de la onda desaparezca.