Límite de $\frac{(e^x-e^{-x}-2x)}{x^2}$

Question

¿Podría ayudarme a calcular el siguiente límite?

$$ \lim _{x\rightarrow 0}\,\,\left(\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x^2}\right)$$

Según Wolfram alpha puedo reescribirlo como $$\dfrac{e^{-x}(-1+e^{2x}-2xe^x)}{e^{-x} \cdot x^2 \cdot e^x}$$ Pero no sé cómo continuar desde aquí. No es posible utilizar la regla de los hospitales.

Answer 1

Famoso, $\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac16$ puede demostrarse sin la regla prohibida, ni siquiera una expansión en serie. $^\ast$ Así, $\lim_{x\to0}\frac{\sinh x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{-i(\sin ix-ix)}{x^3}=\frac16$ . El problema original es evaluar $\lim_{x\to0}2x\cdot\frac{\sinh x-x}{x^3}=0$ .

$^\ast$ Un esbozo: ya que $x-\sin x$ es el área entre un arco y un vértice- $x$ triángulo en un radio- $\sqrt{2}$ triángulo, se puede aproximar como el área bajo la parábola que pasa por $(\pm x/\sqrt{2},\,0),\,(0,\,x^2/\sqrt{32})$ donde hemos utilizado las aproximaciones asintóticas $\sin\frac{x}{2}\sim\frac{x}{2},\,1-\cos\frac{x}{2}\sim\frac{x^2}{8}$ . La curva $Y=\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\frac{x^2}{2}-X^2\right)$ límites $$\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{x/\sqrt{2}}\left(\frac{x^2}{2}-X^2\right)dX=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{x^2}{2}X-\frac13X^3\right]_0^{x/\sqrt{2}}=\frac{x^3}{6}.$$

Answer 2

Podemos utilizar Ampliación de la serie

$$e^x-e^{-x}=2x+2\cdot\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$$

Alternativamente, utilizando la regla de L'Hospital

$$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{e^x-1}x\right)^2\cdot\lim_{x\to0}\dfrac x{2e^x}=?$$

Answer 3

No sé por qué dices que no es posible aplicar la regla de L'Hopital. Las hipótesis se cumplen. Aplicando la Regla de L'Hopital dos veces: $$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=0.$$

Answer 4

$$\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x^2}=\dfrac{e^x-1-x}{x^2}-\dfrac{e^{-x}-1-(-x)}{(-x)^2}$$

Utilice ¿Se pueden resolver todos los límites sin la regla de L'Hôpital o la expansión en serie? para encontrar $$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\dfrac12$$

Answer 5

Te

Sabemos que la definición de e^x y e^(-1) las utilizan cuando restan sólo los términos Impares que quedan