$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2-2)^2-(\frac{1}{x^2}-2)^2}dx$

Question

Suponiendo que las integrales de abajo existen, $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x-\frac{1}{x})dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$ Utiliza la relación anterior para evaluar la siguiente integral: $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2-2)^2-(\frac{1}{x^2}-2)^2}dx$$ Expresa el resultado en términos de la función gamma.

He intentado expandir los términos en el exponente y factorizar una constante pero no puedo conseguirlo en términos de una función gamma. Esto es lo que he intentado hasta ahora: \ ~ -.

Exp $[-(x^2-2)^2-(\frac{1}{x^2}-2)^2]$ =Exp $[-x^4+4x^2-\frac{1}{x^4}+\frac{4}{x^2}-8]$ \

Ahora reordenando los términos y factorizando la constante se obtiene: $$e^{-8}\int_{\infty}^{\infty}e^{-(x^4+\frac{1}{x^4})}e^{4(x^2+\frac{1}{x^2})}dx$$ Lo siguiente que dije: $(x^4+\frac{1}{x^4})=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2$ . Así que podemos reescribir la integral como:

$$e^{-8}e^{-2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+\frac{1}{x^2})^2}e^{4(x^2+\frac{1}{x^2})}dx=e^{-10}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+\frac{1}{x^2})^2+4(x^2+\frac{1}{x^2})}dx$$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí. ¿Puedo usar esa relación dada y hacer la sustitución $u=x^2-\frac{1}{x^2}$ ? Entonces lo habría hecho:

$$e^{-10}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2-4u}du$$

Esto no parece correcto... \

La otra cosa que probé es dejar que $u=x^2$ para que $x=u^{1/2}$ y $dx=\frac{1}{2}u^{1/2-1}$ . En este caso la integral se puede escribir como

$$\frac{e^{-10}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(u+\frac{1}{u})^2+4(u+\frac{1}{u})}u^{1/2-1}du$$

Ahora lo tenemos más o menos parecido a la función gamma pero no sé qué hacer con todos los términos sobre "e".

Answer 1

Dejemos que $g(x) = (x^2-2)^2+(x^{-2}-2)^2$ . Observe que $$g(x) = (x - x^{-1})^4 + 2,$$ para que la elección $f(x) = e^{-(x^4+2)}$ da $$\int_{x=-\infty}^\infty e^{-g(x)} \, dx = e^{-2} \int_{x=-\infty}^\infty \exp(-(x-x^{-1})^4) \, dx = e^{-2} \int_{x=-\infty}^\infty e^{-x^4} \, dx.$$ Entonces sólo queda realizar la integración final. Para ello, consideremos la sustitución $$u = x^m, \quad x = u^{1/m}, \quad dx = \frac{1}{m} u^{-1+1/m} \, du$$ para $m > 0$ . Entonces $$\int_{x=0}^\infty e^{-x^m} \, dx = \frac{1}{m} \int_{u=0}^\infty u^{-1+1/m} e^{-u} \, du = \frac{1}{m} \Gamma(1/m) = \Gamma(1 + 1/m).$$ Para $m = 4$ finalmente obtenemos el resultado deseado $$2 e^{-2} \Gamma(5/4).$$