Este tipo de problema (teniendo en cuenta las órbitas de los objetos en virtud de algún grupo de simetría$~G$, aquí el diedro grupo asociado a la $(n+2)$-gon) puede ser manejado mediante Burnside del lema que dice que el número de órbitas es igual al promedio de todos los elementos del grupo $g\in G$ el número de objetos fijos por$~g$. Ya se sabe el número de objetos (triangulaciones) fijado por el elemento de identidad, es decir, todas las $C_n$ de ellos. El resto de los elementos del grupo se puede dividir en clases conjugacy ya que el número de objetos fijos por$~g$ es constante, como $g$ varía en una clase conjugacy. Sólo un par de clases conjugacy admitirá ningún objeto fijo en todo, lo que hace que a contar de esta manera factible.
Para simplificar poner $m=n+2$, así que la estamos considerando triangualtions de una $m$-gon, y $G=\operatorname{Dih}_m$, el diedro grupo de orden$~2m$.
Entre las rotaciones, sólo necesitamos considerar las de orden $2$ o $3$, si es que existen, desde el centro de la $m$-gon debe ser en una arista de la triangulación o en el interior de un triángulo, y que edge/triángulo solo limita la posible simetría rotacional de la triangulación de más del doble, respectivamente, tres veces. Las reflexiones en$~G$ forma, ya sea una o dos clases conjugacy (al $m$ es impar, respectivamente). Al $m$ es incluso, los reflejos$~g$ cuyo eje no pasa por ninguna de vértices (sino a través de dos puntos medios de los lados) no admiten ningún triangulaciones fijo por$~g$, ya que para cualquiera de los lados cortados por el eje de la reflexión, el tercer vértice del triángulo en el lado tendría que ser un $g$-fijo vértice, que no existe. Por el mismo razonamiento, si $m$ es impar, cualquier triangulación fija a través de una reflexión que debe contener el (isósceles) triángulo definido por el lado y el vértice en el eje de la reflexión.
Considere la posibilidad de la rotación$~z$ orden$~2$, que se produce en$~G$ al $m$ es incluso. Cualquier triangulación fijados por éste debe contener exactamente una de las $m/2$ de las diagonales que pasan por el centro de la $m$-gon. Una vez que esta diagonal es elegido, $z$- simétrica de la triangulación es determinado por una triangulación de uno de los dos $(m/2+1)$-ágonos en la que el $m$-gon se corta, el uno como el otro debe ser su imagen por$~z$; esto se puede hacer en $C_{m/2-1}$ diferentes maneras. Así que cuando $m$ es incluso, $z$ contribuye $\frac m2C_{m/2-1}$ triangulaciones fijados por éste. Del mismo modo, cuando $m$ es divisible por$~3$ hay dos rotaciones$~\rho$ orden$~3$; cada uno corrige el mismo conjunto de triangulaciones, pero no debemos olvidar que contarlos dos veces. Un $\rho$-fija la triangulación debe contener exactamente una de las $m/3$ triángulos equiláteros que comparten su centro con el $m$-gon. Cada triángulo deja tres $(m/3+1)$-ágonos a ser trianguladas, pero después de que esto haya sido hecho por uno de ellos en una de las $C_{m/3-1}$ formas posibles, el resto son determinados por la necesaria $\rho$-simetría. Por lo que la contribución de $3$-simetría cuando existe es $2\frac m3C_{m/3-1}$.
Nos quedamos con las reflexiones. Si $m$ es impar hay $m$ conjugado reflexiones, para cada uno de los cuales, como hemos visto, el eje determina un triángulo que deben ocurrir en cualquier triangulación fijados por éste, y quedan dos $(m+1)/2$-ágonos, de los cuales, como antes, por lo que será suficiente para triangular, en una de las $C_{(m-3)/2}$ formas posibles. Esto contribuye $mC_{(m-3)/2}$ siempre $m$ es impar. El último caso, con $m$ a y $\sigma$ es uno de los $\frac m2$ reflexiones cuyo eje pasa por dos vértices opuestos, es la más sutil. Por un lado, el eje en sí mismo puede ocurrir en la triangulación, y esta posibilidad cuentas (por todas estas reflexiones combinado) para $\frac m2C_{m/2-1}$ $\sigma$-fija las triangulaciones (el mismo número aportado por $z$ solo). Sin embargo, el eje de la reflexión no tiene que ocurrir en la triangulación: se puede ejecutar a través de los interiores de los triángulos, y dado que cada arista de la triangulación que se reúne el eje debe ser perpendicular a ella se ve que debe haber exactamente dos (isósceles) los triángulos que cubren el eje de simetría. Para encontrar la contribución de éstas a la configuración simétrica uno podría sumar sobre todas las posibilidades para este par de triángulos y descubrir que el resultado puede ser simplificado por el cuadrática recurrencia satisfecho por el catalán números; uno puede, sin embargo, salta a la expresión resultante por el siguiente truco: el cuadrilátero formado por los dos triángulos que cubre el eje puede ser re-nidos de otra manera, y el resultado es una $\sigma$-fija la triangulación en la que el eje no se producen. La correspondencia es bijective, con lo que conseguimos una mayor contribución de $\frac m2C_{m/2-1}$.
Hacemos un resumen, el uso de la Iverson soporte de $[d\mid n]$ para denotar $1$ al $d$ divide $n$ $0$ lo contrario. El número de configuraciones para $m=n+2$ está dado por
$$
f(m)= \frac1{2m}\left(C_{m-2}
+[2\mid m]\,\frac{3m}2C_{m/2-1}
+[2\no\mid m]\,mC_{(m-3)/2}
+[3\mid m]\,\frac{2m}3C_{m/3-1}\right)
$$
Si lo desea, puede combinar el centro de los dos términos entre paréntesis por $\Bigl(1+\frac{[2\mid m]}2\Bigr)\,mC_{\lfloor m/2\rfloor-1}$ un poco más compacto de la fórmula. Los primeros valores de esta expresión, como la función de $n$, son
$$\scriptstyle
\begin{matrix} n & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16 \\ \hline
f(n+2)&1&1&1&3&4&12&27&82&228&733&2282&7528&24834&83898&285357&983244
\end{de la matriz}
$$
Una vez que tenemos estos números, por supuesto, es fácil ver esto en OEIS. De hecho, es la secuencia de A000207 cuyo título es "el Número de no equivalentes formas de la disección de un regular $(n+2)$-gon en $n$ triángulos por $n-1$ no de intersección de las diagonales bajo rotaciones y reflexiones; también el número de planas $2$-árboles".
