¿Validez y "verdad en cada interpretación"?

Question

No entiendo esta definición de validez de Wiki:

Un argumento es válido si y sólo si adopta una forma que haga imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión, sin embargo, sea falsa. No se requiere que un argumento válido tenga premisas que sean realmente verdaderas, sino que tenga premisas que, si fueran verdaderas, garantizarían la verdad de la conclusión del argumento.

Cuando se habla de premisas y conclusiones, ¿se define específicamente como $P \to Q = \text{True}$ donde $P$ es la premisa y $Q$ ¿es la conclusión? Esta validez requiere técnicamente que hayamos dado un significado semántico al operador $\to$ ¿correcto? ¿O es la premisa y la conclusión algo de lo que podemos hablar fuera de un sistema lógico, por ejemplo $P \vdash Q = \text{True}$ Si esto es siquiera un concepto, ¿o es que ni siquiera tiene sentido hablar de semántica a nivel metalógico?

A fórmula es válida si y sólo si es verdadera bajo cualquier interpretación, y una forma argumental (o esquema) es válida si y sólo si cada argumento de esa forma lógica es válido.

¿Qué significa esto? ¿"Verdadero bajo cualquier interpretación"? ¿Qué es una forma/esquema argumental? ¿Cómo definimos aquí la fórmula?

Answer 1

Un argumento como se pretende en la página que mencionas, consiste en una colección de locales que se utiliza para establecer la verdad de uno (o más) conclusión .

Si se modelara esto en, digamos, lógica proposicional, se llamaría a las premisas $p_1, \dotsc, p_n$ y la conclusión $c$ . Entonces, el argumento se codificaría mediante la fórmula $$p_1 \land \dotsb \land p_n \implies c$$ Para dar un significado semántico a esta fórmula, es decir, si queremos establecer si es verdadero o falso Necesitamos dos ingredientes:

1. Los valores de verdad de $p_1,\dotsc,p_n$ y $c$ - es necesario fijar dichos valores para obtener el valor de verdad de toda la fórmula; la forma de asignar estos valores de verdad le da un interpretación .
2. Un "significado" para las conectivas lógicas. Esto significa, por ejemplo, que el valor de verdad de la conjunción $\land$ puede calcularse mediante una función (y lo mismo ocurre con la implicación).

Si llamamos a nuestra interpretación $I$ decimos que una fórmula es satisfecho por $I$ (o verdadero bajo esa interpretación) si al asignar los valores de verdad de todas las variables como se especifica en $I$ y luego calcular los valores de verdad de las conectivas lógicas, el resultado es verdadero .

Como convención matemática - así es como implicación se define una fórmula de la forma $A \implies B$ es falso cuando $A$ es verdadera y $B$ es falsa; en todos los demás casos, es verdadera. Esto significa que, si la premisa $A$ es falso, la fórmula general es verdadero , sin importar el valor de $B$ . Pero si $A$ se supone que es verdadero entonces $B$ debe ser verdadera para que el argumento sea verdadero.

Esto significa que para que un argumento sea válido debe ser libre de dar cualquier valor posible a cada una de sus variables y seguir obteniendo una fórmula verdadera. Esto se puede generalizar a fórmulas arbitrarias (no sólo la que tiene forma de argumento), y eso es lo que permite el concepto de tautología es sobre.

Como ejemplo, la fórmula $p \lor \neg p$ es una tautología: aquí, sólo tienes dos interpretaciones posibles, una que hace $p$ verdadero, el otro hace $p$ falso. Puedes elegir cualquiera, y la fórmula resulta ser verdadera.

Otro ejemplo de argumento válido es $p \implies p$ : suponer que algo es cierto; entonces, esa cosa es cierta. En este caso, puedes volver a elegir entre dos interpretaciones y, sea cual sea tu elección, la fórmula es verdadera.

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Según el lenguaje que utilices, hay diferentes formas de definir la fórmula y los valores de verdad. Puedes distinguir entre fórmulas proposicionales (las descritas anteriormente), fórmulas de primer orden (como ejemplo, $\exists{x}. p(x) \implies q(x)$ ), fórmulas modales y muchas otras. Puedes elegir cuántos valores de verdad hay: verdadero y falso o verdadero , falso y desconocido o infinitas. Dependiendo de las elecciones que se hagan aquí, la noción de verdad y validez cambio. Más arriba, he introducido los relacionados con lógica proposicional clásica .

Answer 2

Permítanme intentar dar una respuesta a nivel básico. Intentaré explicar el problema en términos de distinción entre la implicación material ( el --> ordinario ) y la implicación lógica ( la relación metanivel simbolizada por " ==> ")

Referencia sobre la distinción entre "implicación material" e "implicación lógica", véase Lipschutz, Schaum's Outline Of Set Theory ( Ch14 Álgebra de las proposiciones) - Disponible en Archive.org

Su problema es que (1) la validez de un razonamiento puede expresarse mediante el operador " --> " en términos de validez de un enunciado condicional correspondiente al razonamiento examinado y -2) quieres concluir de ello que el operador " -->" debe pertenecer al metanivel, lo que requeriría dar una semántica a este operador en el metanivel...

Su objeción contiene 2 observaciones correctas primero, el concepto de validez pertenece en realidad al metanivel No se puede decir, dentro del propio lenguaje lógico (el lenguaje objeto) que un razonamiento es válido, o que una fórmula es válida. Por eso se utiliza un símbolo especial, el símbolo |= .

Así que decimos que, en el metanivel :

|= (A-->B)& ~A --> ~B

( Lee " la fórmula (A-->B)& ~A --> ~B es una fórmula válida)

y

{ (A-->B), ~B} |= ~A

( Léase " el razonamiento con las premisas (A-->B)y ~B y con la conclusión ~A es válido , es decir ~ B es una consecuencia lógica de las premisas (A-->B)y ~B ).

El Lo segundo que es correcto es que hay dos formas equivalentes de expresar que un razonamiento es válido.

(1) Primero se puede hacer en términos de conjuntos de interpretaciones (Una interpretación es el hecho de atribuir un valor de verdad a cada proposición atómica, cada interpretación posible -más precisamente clase de interpretaciones- correspondiente, a una fila en la tabla de verdad). Así, aquí diremos que un razonamiento es válido si

el conjunto de interpretaciones en las que todas las premisas son verdaderas está incluido en el conjunto de todas las interpretaciones en las que la conclusión es verdadera.

(2) La segunda, y equivalente, forma de expresar la validez de un razonamiento es reformularlo en términos de validez del condicional correspondiente . Aquí se dirá que un razonamiento es válido si :

en caso de que la (conjunción de) las premisas sean verdaderas en una interpretación, la conclusión también es verdadera en esa interpretación, lo que significa que el razonamiento es válido sólo en caso de que

en todas las interpretaciones posibles ( si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera)

o, en otras palabras, un razonamiento es válido por si acaso

la FÓRMULA "( Premisa 1 & Premisa2&.....& Premisa n --> Conclusión)" ES VÁLIDA ( = VERDADERA EN TODAS LAS INTERPRETACIONES POSIBLES)

Y aquí puedes ver lo que estaba mal en tu observación : no usamos el operador " --> " como operador de metanivel . Lo que estamos haciendo es que, a nivel de metadatos hablamos sobre una fórmula perteneciente al nivel de lenguaje de objetos ( una fórmula que tiene --> como operador ordinario de nivel de lenguaje de objetos) y decimos de esta fórmula que es una tautología. En lo que hemos dicho, sólo los conceptos de interpretación y de validez pertenecen al metanivel. El la fórmula en sí no lo hace.

Sin embargo, creo que este error se puede explicar . A veces se utiliza el símbolo " ==> " para expresar en el metanivel que un enunciado condicional no es, en cierto sentido, un enunciado ordinario, debido a que este enunciado es una tautología.

Este símbolo X ==> Y significa "X implica lógicamente a Y" o, de forma equivalente, " Y es una consecuencia lógica de X ". No se trata de un nuevo operador, al que hay que atribuir una semántica en el metanivel. Es simplemente una **abreviatura de la declaración del metanivel

"la fórmula a nivel de lenguaje de objetos X --> Y es válida, es una tautología".**

Así, en lugar de escribir

{ (A-->B), ~B} |= ~A

o de escribir

|= (A-->B)& ~A --> ~B

se puede, más brevemente, escribir

[(A-->B) & ~B] \==> ~ A ( Observación : he escrito " ==> " no " --> " )