¿Qué propiedades tienen las extensiones hiperreales de las funciones reales?

Question

Si tengo una función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ y extenderlo a la función hiperreal $f^* : \mathbb R^* \to \mathbb R^*$ , cuáles son algunas de las propiedades que conozco $f^*$ ¿debe tener?

En concreto, ¿hay alguna propiedad "definitoria"? Es decir, ¿existe una propiedad $P$ de manera que podamos decir

$f^*$ es la única función hiperreal que coincide con $f$ en los reales y satisface $P$

? (De forma análoga a como para cualquier función uniformemente continua definida en un conjunto denso, existe exactamente una extensión continua definida en todos los reales)

Editar : Al parecer, no dejé lo suficientemente claro lo que, exactamente, me interesa, y lo siento por ello. No estoy preguntando qué propiedades de $f$ se trasladan a $f^*$ Pregunto, si usted no sé $f$ , cuyas propiedades aún pueden concluirse $f^*$ debe tener.

Para reformular mi pregunta de una manera que, espero, elimine esta ambigüedad: Si usted tiene alguna función $g : \mathbb R^* \to \mathbb R^*$ ¿Cuáles son las condiciones necesarias de la proposición

Hay alguna función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $g = f^*$

?

Answer 1

El comentario bajo su pregunta lo dice todo, pero puede valer la pena explicarlo en caso de que no esté familiarizado con la terminología lógica. Considere los dos ejemplos siguientes:

(1) definición de continuidad de una función $f$ en $c$ : $\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x \;(|x-c|<\delta\implies|f(x)-f(c)|<\epsilon)$ .

(2) propiedad de completitud del campo de números reales: $\forall S\subseteq\mathbb{R}$ si $S$ está acotado por encima, entonces existe un límite mínimo superior para $S$ .

No me he molestado en escribir la definición completamente formalizada en (2) porque el primer cuantificador es suficiente para ilustrar mi punto.

El principio de transferencia se aplica a enunciados como (1) que implican una cuantificación sobre elementos únicamente, pero no se aplica directamente a enunciados como (2) que implican una cuantificación sobre establece de elementos.

De hecho, la propiedad de completitud (2) aplicada literalmente a los hiperreales fallaría. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los hiperreales finitos.

En los comentarios el OP indicó que está pensando en términos de la construcción de ultrapoderes de $\mathbb{R}^\ast$ en relación con un ultrafiltro $U$ . Entonces la condición de que $g$ debería ser una extensión natural es simplemente la siguiente. Considere la restricción de $g$ a $\mathbb{R}$ y denotarlo por $f$ . Ahora aplique la construcción modulo el mismo ultrafiterio $U$ a la función $f$ , obteniendo $f^\ast$ . Ahora $g$ y $f^\ast$ deben coincidir en cada punto hiperreal.

Una condición más débil es que $g$ debe ser dada por un interno set para empezar.