Generalización del teorema 90 de Hilbert

Question

Dejemos que $L/K$ sea una extensión de Galois finita de campos con grupo de Galois $G = Gal(L/K)$ . Según el famoso 90 de Hilbert sabemos que la primera cohomología desaparece:

$$H^1(G, L^*)=\{1\}$$

Mi pregunta es por qué mantiene siguiente generalización :

$$H^1(G, GL_n(L))=\{1\}$$

Mis consideraciones:

Tenemos la siguiente secuencia exacta de grupos algebraicos

$$0 \to L^* \to GL_n(L) \to PGL_n(L) \to 0$$

Aplicando $H^*(G,-)$ concluimos que $H^1(G,GL_n(L)) \to H^1(G,PGL_n(L))$ es inyectiva.

Pero, ¿por qué? $H^1(G, GL_n(L))=\{1\}$ ?

Evidentemente, basta con demostrar que $H^1(G,PGL_n(L))=\{1\}$ o que el mapa inducido $H^1(G,PGL_n(L)) \to H^2(G, L^*)$ es inyectiva. Pero, ¿por qué se mantiene una de estas dos afirmaciones?

Answer 1

Por lo tanto, es cierto que $H^1(G,\mathrm{GL}_n(L))=0$ . Una forma fácil de demostrarlo es observar que este conjunto puntiforme clasifica los espacios vectoriales $V/k$ tal que $V_L\cong L^n$ . Sólo hay un espacio vectorial de este tipo.

Sin embargo, tenga en cuenta que $H^1(G,\mathrm{PGL}_n(L))\ne 0$ en general. Se trata de clasificar la central simple $K$ -que se dividen en $L$ para los que hay muchos para el general $K$ .

Como el OP sabe de geometría algebraica, puedo decir más. Dejemos que $X$ sea un esquema y que $\mathrm{GL}_n$ sea el esquema de grupo normal asociado a un afín $X$ -sistema $\mathrm{Spec}(R)$ el grupo $\mathrm{GL}_n(R)$ . Entonces, el grupo de cohomología etale $H^1_\mathrm{et}(X,\mathrm{GL}_n)$ clasifica el rango $n$ paquetes vectoriales en $X$ hasta el isomorfismo. Para un recubrimiento de Cech $\{U_i\}$ de $X$ en la topología \'{e}tale el grupo de cohomología de Cech $\check{H}^1(\{U_i\},\mathrm{GL}_n)$ clasifica el rango $n$ paquetes vectoriales en $X$ que se trivializan en cada elemento de $\{U_i\}$ hasta el isomorfismo. Para una discusión de esto ver la página 78 de este .

La relación ahora es que $\mathcal{U}=\{\mathrm{Spec}(L)\to\mathrm{Spec}(K)\}$ es una cobertura de $\mathrm{Spec}(K)$ en la topología \'{e}tale y así $H^1(\mathrm{Gal}(L/K),\mathrm{GL}_n(L))=\check{H}^1(\mathcal{U},\mathrm{GL}_n)$ clasifica el rango $n$ paquetes vectoriales en $\mathrm{Spec}(k)$ que se convierten en isomorfos de $L^n$ en $L$ . Sólo hay un haz vectorial en $\mathrm{Spec}(k)$ hasta el isomorfismo-- $k^n$ .

La prueba de este teorema generalizado no es más que la teoría del descenso (en la topología etale) para gavillas cuasi-coherentes. Esto no es más que la (amplia) generalización de la teoría de descenso de Galois para espacios vectoriales a la que aludí en los comentarios más abajo.