$f(\bar{A})= \overline{f(A)} $ implica $f^{-1}(F)$ para ser una prueba cerrada

Question

$X,Y$ son espacios topológicos $f:X\to Y$ .

1) $\forall A\subset X$ , $f(\bar{A})= \overline{f(A)} $

2) $\forall F$ cerrado en $Y\implies f^{-1}(F)$ de $X$ está cerrado.

Demuestra que 1) implica 2)

Sé que un intervalo cerrado como $F=\bar{F}$ pero no veo cómo puedo utilizar la igualdad $f(\bar{A})= \overline{f(A)} $ para demostrar la relación. $\overline{f(A)}$ no implica necesariamente que A sea cerrado.

Pregunta :

¿Puede alguien proporcionarme una prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $F\subset Y$ es cerrado, y observe que basta con demostrar que $\overline{f^{-1}(F)} = f^{-1}(F)$ . Por hipótesis, tenemos \begin{align*} f\bigg(\overline{f^{-1}(F)}\bigg) &= \overline{f(f^{-1}(F))} \subset \overline F = F, \end{align*} donde la última igualdad utiliza el hecho de que $F$ está cerrado en $Y$ . Por lo tanto, $\overline{f^{-1}(F)} \subset f^{-1}(F)$ . Por otro lado, por definición de cierre, $f^{-1}(F)$ está contenida en $\overline{f^{-1}(F)}$ . De ahí la afirmación.