Pedir ayuda en álgebra lineal en un trabajo de teoría analítica de números

Question

Estoy estudiando por mi cuenta un trabajo de investigación en teoría analítica de números.

Una parte del documento utiliza el álgebra lineal. En realidad, no soy bueno en Álgebra Lineal (durante la enseñanza del curso de Álgebra Lineal estaba estudiando por mi cuenta un curso que no formaba parte de mi plan de estudios).

Entonces, ¿alguien puede decirme cómo deducir estas afirmaciones?

Declaración dejar $D$ sea el producto de todos los primos $\geq (1-2\epsilon) \log (s) $ . Sea $\delta$ sea el número de divisores de $D$ . Sea $i_0=1$ y todos $ i_j$ son impar y $3= i_1 < i_2<\cdots < i_{\delta-1}\leq s$ sean enteros Impares

Considere el conjunto $\mathcal D$ de todos los divisores de $D$ para que $\lvert\mathcal D\rvert = \delta$ . Supongamos que la matriz $[ d^{i_j}]_{d\in \mathcal D , 0\leq j \leq \delta -1 }$ es invertible. ( Nótese que la matriz dada es la matriz de Vandermonde)

Entonces los autores (utilizando el álgebra lineal, supongo) escriben que existe $w_d\in\Bbb Z$ , donde $d\in\mathcal D$ , de tal manera que $\sum_{d\in\mathcal D} w_d d^{i_j} =0$ para todos $j\in \{1, 2,...,\delta-1\}$ (condición 1) y $\sum_{d\in\mathcal D}w_d d \neq 0 $ (condición 2)

No soy capaz de llegar a estas deducciones .

Por favor, ayuda.

Answer 1

Puede considerar el sistema de $\delta$ -muchos $\Bbb Q$ -ecuaciones lineales en $\delta$ incógnitas $(W_d\,:\, d\in\mathcal D)$ , donde el $j$ -ésima ecuación es $\sum_{d\in \mathcal D}W_dd^{i_j}=0$ para $j=1,\cdots,\delta-1$ y $\sum_{d\in\mathcal D}W_dd=1$ para $j=0$ . La matriz de coeficientes de este sistema es $A_{j,d}:=d^{i_j}$ con $d$ que se extienden sobre $\mathcal D$ y $j$ que van en $\{0,\cdots,\delta-1\}$ . Como ya hemos establecido que la matriz de coeficientes es invertible, este sistema tiene exactamente una solución $(W_d\,:\, d\in\mathcal D)\in \Bbb Q^{\mathcal D}$ . Ahora, multiplica por un denominador común todas las $W_d$ -s y obtendrá valores enteros de $w_d$ como las que buscas: la condición (2) sigue siendo la misma, y la condición (1) proviene de multiplicar ambos lados por un entero distinto de cero.