Matrices estables y sus espectros

Question

Soy estudiante de posgrado en ingeniería y trabajamos mucho con las llamadas matrices de Hurwitz (o estables).

En nuestra terminología, una matriz se llama estable si la parte real de los valores propios es estrictamente negativa, ver por ejemplo aquí .

Normalmente el problema para nosotros es que tales matrices no son normales, por lo que la teoría espectral de estas matrices es bastante complicada.

Sin embargo, me pregunto sobre la siguiente propiedad.

Supongamos que podemos demostrar que existe un valor propio aproximado, es decir, que existe un casi vector propio $u$ tal que $\Vert (A-\lambda I)u \Vert<\varepsilon$ donde $\Re (\lambda)=0$ y $\varepsilon>0.$

Los ingenieros decimos entonces que $\lambda$ está en el $\varepsilon$ pseudoespectro de $A.$

Me gustaría saber: ¿Implica esto que si $A$ es Hurwitz(o estable) que existe un valor propio real de $A$ en el semiplano $\left\{ \lambda \in \mathbb C: \Re(\lambda) \ge -\varepsilon \right\}$ ¿o esta propiedad de arriba no me dice nada sobre la ubicación del espectro?

Sé que esto sería cierto para matrices normales, pero por supuesto mi matriz no es necesariamente normal.

Answer 1

No, esto no es cierto en general.

Tenga en cuenta que en su condición probablemente quiera asumir $\|u\|=1$ ya que, de lo contrario, siempre se puede hacer el lado izquierdo tan pequeño como se desee haciendo $u$ pequeño. Responderé a la pregunta para la norma euclidiana y la norma espectral inducida, pero esto no supone realmente una gran diferencia.

Suponiendo que $\|u\|=1$ Todo lo que aprendemos de la condición es que $(A-\lambda I)u = y$ con $\|y\| < \varepsilon$ . Esto se puede reescribir para decir $$ (A - yu^T)u = \lambda u$$ para que una perturbación de $A$ de tamaño inferior a $\varepsilon$ desplaza un valor propio al eje imaginario. Nótese que $\| yu^T\|=\|y\|$ .

Ahora bien, como sospechas, para matrices no normales las perturbaciones de tamaño $\varepsilon$ puede tener efectos significativos en el espectro y no hay razón para suponer que el efecto esté limitado por $\varepsilon$ . Para obtener más información es necesario saber más sobre $A$ y posiblemente sobre el tipo de perturbaciones que son de interés. Hay una gran cantidad de literatura al respecto. Como eres de ingeniería, te sugiero que leas los conceptos de radios de estabilidad, conjuntos de valores espectrales y algunos de los artículos introductorios de Trefethen.

Un pequeño comentario aparte: usted dice que "los ingenieros decimos $\lambda$ está en el $\varepsilon$ -pseudoespectro de $A$ "; históricamente el término fue acuñado por primera vez por los matemáticos.