¿Cómo poner a cero la variación de una integral?

Question

Así que tengo una integral:

$$\delta W = \int_{-\Delta}^\Delta \left[ x^2 \left(\frac{d\xi}{dx}\right)^2 - D_s\xi^2 \right] dx$$

Aquí $\xi$ es una función de $x$ y $D_s$ es una constante. $\Delta$ es sólo un pequeño $x$ . Ahora necesito establecer la variación de $\delta W$ a $0$ . Para ello he diferenciado lo que hay dentro del soporte y lo he puesto en $0$ . Me sale:

$$x^2\xi'' + x\xi' -D_s\xi = 0$$

Sin embargo, la respuesta es:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\frac{d\xi}{dx}\right) + D_s\xi = x^2\xi'' + 2x\xi' + D_s\xi = 0$$

Donde los primos son derivados con respecto a $x$ . Como puedes ver la diferencia es un factor de 2 en el término medio y ese signo menos.

Si alguien pudiera indicarme en qué me estoy equivocando, se lo agradecería mucho.

Gracias.

Answer 1

Me he dado cuenta de dónde me equivoco, no puedo diferenciarlo así: Usé la ecuación de Euler Lagrange y obtuve la respuesta.