Isomorfismo de los grassmanianos

Question

Quiero demostrar que dos complejos CW $\mathrm{Gr}_{n}(\mathbb{R}^{n+k})$ y $\mathrm{Gr}_{k}(\mathbb{R}^{n+k})$ son isomorfas entre sí. Estoy bastante seguro de que puedo demostrar que el número de $r$ -células en cada uno de los complejos son iguales. El isomorfismo debería derivarse de esto. Sin embargo, estoy un poco inseguro de cómo hacer esto. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

El mapa $f \colon \mathrm{Gr}_{n}(\mathbb{R}^{n+k}) \to \mathrm{Gr}_{k}(\mathbb{R}^{n+k})$ dado por $f(X) = X^\perp$ es un homeomorfismo.