Evaluar $\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{2}{x})^x$

Question

Así que tengo que evaluar: $$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$$

Esto es:

$$\lim_{x\to\infty} e^{x\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)}$$

Y:

$$x\ln\left( 1 + \frac{2}{x} \right) = \frac{\ln\left( 1 + \frac{2}{x} \right)}{\frac{1}{x}} $$

Así que debería aplicar la regla de L'Hospital y calcular: $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left( 1 + \frac{2}{x} \right)}{\frac{1}{x}}$$

Sin embargo estoy atascado en este paso y no sé cómo seguir avanzando y llegar al resultado final ( es decir, $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2$ )

( Las opciones alternativas también son bienvenidas siempre que sean más simples y sencillas de aplicar que la regla de L'Hospital ).

Answer 1

Desde $\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x =e$ , $\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{2}{x})^x =\lim_{x\to\infty}((1 + \frac{2}{x})^{x/2})^2 =e^2 $ .

Answer 2

$$\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\rightarrow e^{2}.$$

Answer 3

El truco clave para calcular el último límite es establecer $y=\frac{1}x$ entonces calcula el límite $\lim_{y\to 0^+} \frac{\ln(1+2y)}{y}$ que es mucho más fácil utilizando L'Hopital.

Se puede aplicar L'Hopital porque este límite es de la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ .