un ejemplo sencillo de homomorfismo cruzado para la demostración del Teorema 90 de Hilbert

Question

Para una ampliación de campo $K/F$ y un subgrupo $G$ de $Aut(K)$ Un homomorfismo cruzado se define como una función $f:G \rightarrow K^*$ satisfaciendo $$f(\sigma\tau)= f(\sigma)\cdot \sigma(f(\tau)) $$

Quiero ilustrar esta definición con un ejemplo sencillo.

Utilizamos esta definición para demostrar el teorema 90 de Hilbert.

Así que, para obtener un ejemplo sencillo, pensé en una extensión cíclica;

Considere la ampliación $\mathbb{Q}(\eta)/\mathbb{Q}, $ donde $\eta^5=1$ , primitivo $5^{th}$ raíz de la unidad.

Evidentemente, la extensión será cíclica; $G=Gal(\mathbb{Q}(\eta)/\mathbb{Q})=<\sigma>$ , donde $\sigma: \eta\rightarrow\eta^2$ y por lo tanto $G\cong\mathbb{Z}_4$ y cíclico.

Ahora, un elemento $\alpha\in\mathbb{Q}(\eta)$ será de la forma $\alpha=a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3+d\eta^4$ , donde $a,b,c,d,e\in \mathbb{Q}$ .

La norma de $\alpha$ relativa a la extensión será $N(\alpha)=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}$ (No estoy en lo cierto aquí, tengo que arreglar mi definición de Norma, $N(\alpha)=\prod_{\sigma\in G}\sigma(\alpha)$ )

Ahora considero que $u\in\mathbb{Q}(\eta)$ para ser un elemento con $N(u)=1$ . (Así que necesito tener $N(u)=\prod_{\sigma\in G}\sigma(u)=u\sigma(u)\sigma^2(u)\sigma^3(u)=1$ ...¿qué significa para $u$ ?)

Defino $f:G\to K^*$ como $f(id)=1, f(\sigma)=u$ y $f(\sigma^i)=u\sigma(u)\cdots\sigma^{i-1}(u)$ .

El problema es que ahora, no puedo entender cómo este $f$ será un homomorfismo cruzado.

No puedo entender el paso donde dice la prueba; $$f(\sigma^i\sigma^j)=u\sigma(u)\cdots\sigma^{i+j-1}(u) \\ =(u\sigma(u)\cdots\sigma^{i-1}(u))\cdot \sigma^i(u\sigma(u)\cdots\sigma^{j-1}(u) $$

¿Puede alguien ayudarme a entender este paso con la ayuda de mi ejemplo?

Gracias de antemano,

Answer 1

Estás a la altura de $G \simeq \mathbb Z/4\mathbb Z$ . Para la siguiente línea, observe que el quinto polinomio ciclotómico es $\Phi_5 = x^4+x^3+x^2+x+1$ para que $\eta$ tiene grado $4$ (no $5$ ) sobre los racionales. Esto significa que cualquier elemento $a$ de $\mathbb Q(\eta)$ es un polinomio en $\eta$ de grado $3$ (no $4$ ).

Entonces, la norma se define como el producto de todos los (4) conjugados de $a$ por lo que es un polinomio homogéneo de grado $4$ en los coeficientes de $a$ . Escribirlo completo sería demasiado largo, así que doy el caso particular $$ N(a_0 + a_1 \eta) = a_0^4 - a_1 a_0^3 + a_1^2 a_0^2 - a_1^3 a_0 + a_1^4.$$ (Nota: nunca puede haber un $\sqrt{}$ en una norma de Galois, ya que $\sqrt{}$ es una construcción analítica sobre los reales, mientras que una norma de Galois es un objeto puramente algebraico).

Entonces, un $1$ -(= homomorfismo cruzado) del grupo cíclico $G = \mathbb Z/4/\mathbb Z$ a $K^{\times}$ es, como se sospecha, determinado por su valor $c = f(\sigma)$ donde $\sigma$ es un generador. Por la relación de coyuntura, los siguientes valores vienen dados por $$ f(\sigma^2) = f(\sigma) \cdot \sigma (f(\sigma)) = c \sigma(c), \quad f(\sigma^3) = f(\sigma) \cdot \sigma (f(\sigma^2)) = c \sigma(c) \sigma^2(c), \quad f(\sigma^4) = c \sigma(c) \sigma^2(c) \sigma^3(c), \dots$$ Sin embargo,
- ya que $G$ es cíclico, en realidad no hay nada más en este " $\dots$ ";
- ya que $\sigma^4 = 1$ Debemos tener $f(\sigma^4) = 1$ , lo que significa que $c\, \sigma(c) \sigma^2(c) \sigma^3(c) = 1$ ;
- esta última expresión es exactamente la norma (Galois) de $c$ .