Mostrar que $4mn-m-n$ nunca puede ser un cuadrado

Question

Deje $m$ $n$ ser enteros positivos. Mostrar que $$4mn-m-n$$ nunca puede ser un cuadrado.

En mi intento empecé a asumir por el bien de la contradicción que $$4mn-m-n=k^2$$ for some $k \in \mathbb{N_0^+}$. Then I considered $k^2 \pmod3$ (I couldn't find a way for $\pmod4$ or $\pmod8$ a ayudar) $$k^2 \equiv 0,1 \pmod3$$

El rendimiento de este tres posibilidades para $m$ y $n$ $\pmod3$ ya sea $$m,n \equiv 0 \pmod3$$ $$m \equiv 0,\;\;\;n \equiv 2 \pmod3 \; \; \;(WLOG)$$ $$m,n \equiv 2 \pmod3$$ Case $1$: $m,n \equiv 0 \pmod3$

Deje $m=3m'$ $n=3n'$ $k^2=36m'n'-3m'-3n'$ por lo tanto $3|k^2 \implies 3|k$ Deje $k=3k'$ $$9k'^2=36m'n'-3m'-3n'$$ $$\implies3k'^2=12m'n'-m'-n'$$ Aquí estoy atascado y no sé si todo lo que he hecho es útil y no se sienten inclinados a seguir el resto de los casos teniendo en cuenta lo que sucedió aquí. Tenía la esperanza de reducir esto a una especie de infinito descenso argumento - que no sucedió. Ahora creo que mi enfoque probablemente estaba completamente equivocado. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos por el contrario que $4mn-m-n=k^2$. A continuación,$(4m-1)(4n-1)=(2k)^2+1$. Desde $4m-1 \equiv 3 \pmod{4}$ y $4m-1>0$, $4m-1$ tiene un primer factor de $p \equiv 3 \pmod{4}$. A continuación,$p \mid (2k)^2+1$, lo que da una contradicción ya que el $(\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=-1$.