Para ser honesto, me cuesta interpretar geométricamente lo que sucede aquí cuando se usan cuaterniones o bicuaterniones o cualquier otra cosa. Todo el álgebra de las rotaciones en 4d se maneja adecuadamente con un álgebra geométrica, y los elementos de esa álgebra tienen claras interpretaciones geométricas. Las matemáticas son similares a las de los cuaterniones, pero difieren en algunos aspectos conceptuales.
Bien, Muphrid, ¿qué es el álgebra geométrica y cómo puede ayudarnos a hablar de rotaciones?
El álgebra geométrica es un tipo de álgebra clifford. Plantea un "producto geométrico" entre vectores que se denota por yuxtaposición, así el producto geométrico de dos vectores $a$ y $b$ se denota $ab$ . Este producto tiene las siguientes propiedades:
$$aa = |a|^2, \quad (ab)c = a(bc)$$
A partir de estas dos propiedades, se obtiene una gran cantidad de estructuras útiles para complementar el álgebra vectorial tradicional. Las más relevantes son bivectores que representan planos orientados. Dados cuatro vectores base ortonormales $e_1, e_2, e_3, e_4$ se obtienen los siguientes bivectores unitarios:
$$\text{Bivectors:} \, e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1, e_1 e_4, e_2 e_4, e_3 e_4$$
El producto geométrico de vectores también produce objetos llamados rotores que son análogos a los cuaterniones en el sentido de que realizan rotaciones. Por ejemplo, en 3d se pueden multiplicar dos vectores $a$ y $b$ para obtener lo siguiente:
$$a b = (a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3) + (a^2 b^3 - a^3 b^2) e_2 e_3 + (a^3 b^1 - a^1 b^3) e_3 e_1 + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$
Esto tiene cuatro términos, como un cuaternión. De hecho, puedes hacer las siguientes identificaciones:
$$i = -e_2 e_3, \quad j = -e_3 e_1, \quad k = - e_1 e_2$$
Una de las ventajas que tiene el álgebra geométrica sobre los cuaterniones es que los cuaterniones tienen que cumplir una doble función: se utilizan cuatros imaginarios puros para representar vectores. El AG no hace esto; los vectores y los rotores se mantienen claramente separados según sus propiedades geométricas y su función. Nunca confundirías $e_1$ --un vector--con $e_1 e_2$ --un bivector.
Pero Muphrid, ¿qué pasa con la 4D? ¿No es eso lo que nos interesa aquí?
Bien, hablemos del álgebra geométrica del espacio euclidiano 4d. Como dije, hay seis bivectores unitarios, y habrás notado que hay seis imaginarios involucrados cuando hablas de dos cuaterniones. No es una coincidencia. GA nos permite manejar eso directamente, en lugar de hackear los cuaterniones para que todo funcione.
He aquí cómo: hay un concepto importante de dualidad, que representamos mediante la multiplicación por el pseudoescalera que llamaré $\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$ . El pseudoescalar multiplicado por un bivector devuelve el bivector ortogonal correspondiente. Veamos cómo:
$$\epsilon e_1 e_2 = - e_3 e_4, \quad \epsilon e_2 e_3 = - e_1 e_4, \quad \epsilon e_3 e_1 = - e_2 e_4$$
Esta es la razón por la que se puede salirse con la suya utilizando dos cuaterniones o bicuaterniones: cualquier bivector se puede expresar como una combinación lineal como esta:
$$B = (\alpha e_1 e_2 + \beta e_2 e_3 + \gamma e_3 e_1) + \epsilon (\lambda e_1 e_2 + \mu e_2 e_3 + \nu e_3 e_1)$$
Otra vez, $\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$ y $\epsilon \epsilon = -1$ como es el caso. Actúa como otra unidad imaginaria, dividiendo los complicados rotores de 4d en 2 rotores de 3d.
Entonces, Muphrid, ¿qué nos dice eso sobre los vectores propios (o bivectores propios, o rotores propios) de una operación de rotación general en 4d?
La descomposición isoclínica doble es la que mejor se entiende.
Sea un bivector de rotación general dado como $B = U + \epsilon V$ , donde $U, V$ son combinaciones lineales de $e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$ . Sea $I_\pm = (1 \pm \epsilon)/2$ entonces podemos reescribir $B$ como
$$B = I_+ X + I_- Y, \quad X = (U+V)/2, \quad Y = (U-V)/2$$
Las rotaciones mediante $I_+ X$ y $I_- Y$ son ambos "isoclínicos", lo que significa que cada uno gira en dos planos ortogonales con el mismo ángulo. La rotación correspondiente tiene la forma
$$\underline R(a) = I_+ \exp(X) a \exp(-Y) + I_- \exp(Y) a \exp(-X)$$
Fuera de los casos especiales en los que $X$ y $Y$ son linealmente dependientes, no puedo ver ningún vector individual que, en general, sea un vector propio.
Para los eigenbivectores, la serie de potencias de un exponencial $\exp(B)$ nos dice que $B$ y $\epsilon B$ son ambos eigenbivectores, lo que supone un análisis mucho más sencillo.
