Cálculo de la energía total de la ecuación de Schrödinger no lineal (NLS)

Question

NLS:

$$i\, u_t + \frac 12 u_{xx} \pm \lVert u\rVert^2u=0$$

Demuestre que la siguiente energía de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) es constante $$E=\int\limits_{-\infty}^\infty \left( \frac 12 \lVert u_x \rVert^2\mp \frac 12 \lVert u \rVert^4 \right) \, dx = \mbox{const}$$

No sé cómo puedo mostrar esto.

Answer 1

He aquí un esbozo de respuesta no rigurosa, que sospecho que es todo lo que quieres.

Su ecuación es de la forma $i u_t = Hu$ . Multiplíquelo por $\bar u_t$ para conseguir $i \|u_t\|^2 = \bar u_t Hu$ . Ahora toma la parte real esto para conseguir $$0 = \bar u_t Hu + u_t H \bar{u_t} .$$ Ahora integra ambos lados con respecto a $x$ de $-\infty$ a $\infty$ . Tendrá que hacer una integración por partes para mostrar $$\int_{-\infty}^\infty \bar u_t u_{xx} \, dx = - \int_{-\infty}^\infty \bar u_{tx} u_{x} \, dx$$ y otra igualdad que es simplemente el complejo conjugado de ésta. (Tendrás que suponer que $u \to 0$ como $x \to \pm \infty$ para eliminar los términos cruzados). A continuación, utilice fórmulas como $$\partial_t \|u_{x}\|^2 = \bar u_{xt} u_x + u_{xt} \bar u_x .$$ A continuación, saque las derivadas fuera de las integrales.

Hacerlo todo riguroso es bastante más difícil, e implica espacios de Hilbert y espacios de Sobolev, etc.