¿Cómo evaluar...

Question

Hay una publicación aquí pidiendo $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}.$$ Y la respuesta es $18-24\ln 2$.

Es fácil elvaluar ese $\displaystyle\sum{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+2+\cdots+n}=2$ y no es difícil justificar la convergencia de $\displaystyle\sum{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^k+2^k+\cdots+n^k}$ para todo $k>1$.

Aquí viene mi pregunta: Cómo evaluar $\displaystyle\sum{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^3+2^3+\cdots+n^3}$ o en general, qué es $\displaystyle\sum{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^k+2^k+\cdots+n^k}$ si $k$ es un entero positivo.

Answer 1

Supongo que el camino es más o menos el mismo, ya que siempre hay fórmulas para evaluar. $$\sum_{i=1}^n i^k, $$ Para $k=3$ el resultado de la suma anterior es $$\frac{4}{3} (-9+\pi^2)$$ Para términos más altos probablemente no siempre obtendrás un buen resultado, pero para $k=5$ tienes $$ 4\left(15-\pi^2 + 2\sqrt{3} \pi \tan\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\right)\right)$$

Calcularé el caso $k=3$.
Como $$\sum{i=1}^n i^3 = \frac{1}{4} n^2 (1+n)^2$$ tenemos \begin{align*} \sum{n=1}^\infty \frac{1}{\sum{i=1}^n n^3 } &= 4 \sum{n=1}^\infty \frac{1}{m^2(1+m)^2}\ &=\sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n} + \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\ &=4\sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} +4\sum{n=1}^\infty \frac{1}{(1+n)^2} - 8 \cdot \sum{n=1}^\infty \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\ &=4\left(\frac{\pi^2}{6} +\frac{\pi^2}{6}-1-2\right)\ &=\frac{4}{3}(\pi^2-9)\end{align*}

Answer 2

Aunque puede ser difícil encontrar una fórmula general, obtenemos con la fórmula de Faulhaber que

$$\sum{n=1}^\infty \frac{1}{\sum{m=1}^n m^k}= \sum{n=1}^\infty \frac{1}{\sum{j=0}^k\binom{k}{j}\frac{B_{k-j}}{j+1}n^{j+1}}=$$

donde $B_k$ son números de Bernoulli.

Answer 3

Una vez que la suma sobre las potencias $k$-ésima se escribe como un polinomio en $n$, la descomposición de la fracción parcial genérica conduce a algún resultado manejable, ver http://psychedelic-geometry.blogspot.de/2009/04/square-pyramidal-numbers-reciprocals.htm . Las diferencias aparecen principalmente debido al problema de encontrar las raíces de los polinomios de orden $(k+1)$st.