Dado $f(x)=ax^3-ax^2+bx+4$ Encuentre el valor de $a+b$

Question

Dejemos que $f(x)=ax^3-ax^2+bx+4$ . Si $f(x)$ dividido por $x^2+1$ entonces el resto es $0$ . Si $f(x)$ dividido por $x-4$ entonces el resto es $51$ . ¿Cuál es el valor de $a+b$ ?

Del problema sé que $f(4)=51$ .

Usando la división larga, encontré que el resto de $\frac{ax^3-ax^2+bx+4}{x^2+1}$ es $a+b+x(b-a)$ .

Entonces $$a+b+x(b-a)=0$$

No puedo avanzar más, así que supongo que el otro factor de $f(x)$ es $ax+4$ .

Entonces $$f(x)=(ax+4)(x^2+1)=ax^3+4x^2+ax+4=ax^3-ax^2+bx+4$$

Encontré que $a=-4$ y $b=a=-4$ . Entonces $f(x)=-4x^3+4x^2-4x+4$ . Pero no satisface $f(4)=51$

Answer 1

$f(x)=ax^3-ax^2+bx+4$

Desde $f(4) = 51$ , $51 =a(64-16)+4b+4 =48a+4b+4 $ así que $12a+b =47/4 $ .

Desde $f(i) = 0$ , $0 =a(-i+1)+ib+4 =i(b-a)+a+4 $ así que $ a+4 = 0, a=-4, b-a = 0, b=a=-4 $ .

Por lo tanto, $f(x) = -4x^3+4x^2-4x+4 $ .

Pero esto no satisface $f(4) = 51$ .

Por lo tanto, el problema es erróneo.

Answer 2

Una forma más de ver las condiciones impuestas a $f(x)$ son incoherentes/imposibles:

Desde $x^2 + 1$ divide $f(x)$ con el resto $0$ , $f(x)$ factores como

$ax^3 - ax^2 + bx + 4 = (x^2 + 1)(cx + d) = cx^3 + dx^2 + cx + d; \tag 1$

comparando los coeficientes:

$a = c = -d, \tag 2$

$b = c, \tag 3$

$ d = 4; \tag 4$

así,

$a = b = c = -4; \tag 5$

así,

$cx + d = -4x + 4, \tag 6$

y

$f(x) = -4x^3 + 4x^2 - 4x + 4; \tag 7$

entonces claramente $f(4)$ es par, por lo que

$f(4) \ne 51. \tag 8$

Si decidimos ignorar la condición

$f(4) = 51, \tag 9$

todavía podemos salvar la inferencia

$a + b = -8. \tag{10}$

Answer 3

$$x=\pm i$$ así que $$a(\pm i)^3-a(\pm i)^2+b(\pm i)+4=0$$ así que $$ai+a\pm bi+4=0$$ $$ai+a+bi+4=0\tag 1$$ o $$ai+a-bi+4=0\tag 2$$ ahora resolveremos la primera ecuación $$a+4=0\rightarrow a=-4$$ $$a-b=0\rightarrow b=-4$$ por lo que $$f(x)=-4x^3+4x^2-4x+4$$ en $x=4$ $$f(4)=-204=-4(51)$$

la segunda ecuación da $$a=-4$$ $$b=4$$ por lo que $$f(x)=-4x^3+4x^2+4x+4$$ en $x=4$ $$f(4)=-176=-4(43)$$ como dijo @marty el problema está mal

Answer 4

Dejemos que $a+b=c$ .

Resolver en pari/gp :

? lift(Mod(a*x^3-a*x^2+b*x+4,x^2+1))
%9 = (-a + b)*x + (a + 4)
?
? lift(Mod(a*x^3-a*x^2+b*x+4,x-4))
%10 = 48*a + (4*b + 4)
?
? polresultant(%9,a+b-c,a)
%11 = (-2*b + c)*x + (b + (-c - 4))
?
? polresultant(%10-51,a+b-c,a)
%12 = 44*b + (-48*c + 47)
?
? polresultant(%11,%12,b)
%13 = (52*c - 94)*x + (-4*c + 223)

O en Wolfram .

Es decir $a+b=\dfrac{94x-223}{4(13x-1)}$ .

Si $x=4$ entonces $\begin{cases}4(b-a)+a+4=0\\48a+4b+4=51\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}a=1\\b=-1/4\end{cases} \Longrightarrow (a+b)\bigg|_{x=4}=\dfrac{3}{4}$ .

Verificando: $(a+b)\bigg|_{x=4}=\dfrac{94\cdot 4-223}{4(13\cdot 4-1)}=\dfrac{3}{4}$ .

Por modulo $x^2+1$ El resto es $x(b-a)+a+4$ y el cociente es $a(x-1)$ :

$ax^3-ax^2+bx+4=\bigg(x(b-a)+a+4\bigg)+\bigg(a(x-1)\bigg)\cdot(x^2+1)$ .

Creo que de resto $=0$ $\not\Rightarrow ax^3-ax^2+bx+4=a(x-1)(x^2+1)$ pero sólo $ax^3-ax^2+bx+4 \equiv 0 \equiv x(b-a)+a+4 \equiv a(x-1)(x^2+1) \pmod {x^2+1}$ . Por lo tanto, no es correcto hacer coincidir los coeficientes de $ax^3-ax^2+bx+4$ y $a(x-1)(x^2+1)$ sin módulo.

Answer 5

Esta pregunta es muy interesante......

Sólo con esta afirmación se puede resolver la cuestión

$f(x)= ax^3-ax^2+bx+4$ es un múltiplo de $x^2+1$ ;

Porque las raíces de la ecuación $x^2+1$ serían las raíces de $f(x)$ .

Por lo tanto, si $j,k$ son raíces de la ecuación entonces $j+k=0$ y $j.k =1$ . Dejemos que las raíces de $f(x)$ sea $j,k,l$ .

Entonces,

$j+k+l = -\frac{-a}{a}$

$l=1$

ahora, $j.k.l= -\frac{4}{a}$

Así que.., $a= -4$

ahora $j.k + l(k+j) = \frac{b}{-4}$

Por lo tanto, $b=-4$

Finalmente $a+b=-8$

Pero $f(4)= 4(-4^3+4^2-4+1)$
Por lo tanto, $f(4)= -204$

Así que la pregunta puede ser incorrecta.