¿Encontrar una línea a lo largo del perímetro de un círculo?

Question

Si conozco las coordenadas del punto $A$ coordenadas del centro del círculo $B$ y r como el radio del círculo, ¿es posible calcular las líneas que pasan por el punto $A$ que también son tangentes al círculo?

A es el punto verde, B es el centro del círculo rojo y estoy tratando de averiguar las líneas azules.

Answer 1

Denote las coordenadas del punto $A$ con $(x_A, y_A)$ y el centro B con $(x_B, y_B)$ . Supongamos que la tangente AT toca al círculo en el punto $T$ con coordenadas $(x_T,y_T)$ .

Lo has hecho:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\tag{1}$$

$$AT=\sqrt{AB^2-r^2}\tag{2}$$

Denotemos el ángulo entre la línea AB y $x$ -eje con $\alpha$ y el ángulo $\angle TAB$ con $\beta$ . Se puede calcular el valor de $\alpha$ de:

$$\alpha=\arctan\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\tag{3}$$

...y el ángulo $\beta$ del triángulo rectángulo $\triangle ATB$ :

$$\beta=\arcsin\frac{r}{AB}\tag{4}$$

Obsérvese que la solución sólo existe si (2) tiene sentido ( $AB\ge r$ ). Y si se utilizan ordenadores para hacer el cálculo, siempre se debe utilizar una función como $atan2$ para calcular $\alpha$ del cuadrante derecho.

Las coordenadas del punto T se pueden obtener a partir de las siguientes expresiones:

$$x_T=x_A+AT \space \cos(\alpha \pm\beta)$$

$$y_T=y_A+ AT \space \sin(\alpha \pm\beta)$$

En general, tiene dos soluciones diferentes para $AB>r$ y sólo uno, trivial, para $AB=r$ ( $T\equiv A$ ).

Las ecuaciones de las tangentes son:

$$y-y_A=(x-x_A)\tan(\alpha\pm\beta)$$