Dado $f'(x)=(2x/2\sqrt{x^2+2})-3$ ¿Cuáles son los puntos críticos?

Question

Me han dado una función $$y=\sqrt{2+x^2}-3x$$

y necesito encontrar el mínimo y el máximo absoluto entre $[5,6]$ . Ya he encontrado (suponiendo que lo he hecho bien) que la derivada de y es $$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}-3$$

Ahora necesito encontrar los valores críticos, pero no estoy seguro de si hice algo mal o si no sé cómo hacerlo dado este problema. Me he encontrado con un obstáculo porque estoy tratando con una raíz cuadrada, y no puedo poner todas las variables de la x a un lado, aparte de tener $$\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=3$$ o $$x=3\sqrt{x^2+2}$$

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? Gracias.

Answer 1

Después de una pequeña manipulación, llegamos a $$x=3\sqrt{2+x^2}.$$ Lo razonable es cuadrar ambos lados. Llegamos a $x^2=18+9x^2$ .

Es fácil ver que esta ecuación no tiene solución real, por lo que no hay puntos críticos.

Por lo tanto, el máximo y el mínimo se producen en los puntos finales. Sustituya $5$ y $6$ para saber cuál es cada uno. En realidad, como $f'(x)$ es negativo, sabemos que el máximo está en $5$ y el mínimo está en $6$ .

Answer 2

Es fácil ver que la derivada de la función no desaparece donde quieres (de hecho, no desaparece en ningún sitio). Lo más probable es que lo que se pretendía era comprobar la puntos extremos del intervalo dado, ya que son siempre puntos extremos de una función definida en un intervalo finito por definición Así que..:

$$f(5)=\sqrt{2+25}-3\cdot 5=\sqrt{27}-15$$

$$f(6)=\sqrt{2+36}-3\cdot 6=\sqrt{38}-18$$

y como $\,f'(x)<0\,$ , obtenemos que $\,(5,f(5))\,$ es un máximo local, y $\,(6,f(6))\,$ es un mínimo local. Obsérvese que los puntos extremos de una función en un intervalo finito son siempre extremo local unilateral.