Núcleos de probabilidad no aleatorios

Question

También he hecho esta pregunta en matemáticas stackexchange pero, a pesar de las casi dos docenas de visitas, no hay ni un solo comentario, ni siquiera una respuesta. Se agradecería cualquier ayuda.

Actualización : Véase la actualización 1 en la parte inferior.

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Dejemos que $(X,\mathcal A)$ y $(Y,\mathcal F)$ sean espacios medibles.

Consideremos un núcleo de probabilidad $\kappa : X \times \mathcal F \to [0,1]$ .

Necesito formalizar la noción de no aleatorizado núcleo de probabilidad. Dos definiciones naturales son:

1. para todos $x \in X$ existe $y \in Y$ , $\kappa(x,\{y\}) = 1$ .
2. para todos $x \in X$ existe $y \in Y$ para todos $A \in \mathcal F$ , $(\kappa(x,A) = 1 \iff y \in A)$ .

Creo que las dos definiciones son equivalentes si los singletons son medibles en $\mathcal F$ . (¿Acuerdo?)

En cualquier caso, considera la integral doble: $$ \Phi = \int_X \Bigl \{ \int_Y f(x,y) \kappa(x,dy) \Bigr \} \mu(dx), $$ donde $f$ es un producto medible y $\mu$ es una medida de probabilidad sobre $(X,\mathcal A)$ .

Si $\kappa$ no es aleatoria (como en la definición 1 o 2 anterior), ¿cuándo puedo suponer que existe una función(n ostensiblemente medible?) $g : X \to Y$ tal que $$ \Phi = \int_X f(x,g(x)) \mu(dx) $$ ¿se mantiene? (Podemos suponer que $f$ es integrable con respecto a $\mu \otimes \kappa$ o alternativa que $f$ es no negativo (o no positivo).)

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Actualización 1

Los comentaristas han señalado, con razón, que la cuestión parece trivial. De hecho, el caso en el que asumimos la definición 1 es sencillo y he seguido el esquema proporcionado por Nate Eldredge para dar pruebas esbozadas.

El caso en el que asumimos simplemente la definición 2 sigue sin estar claro para mí. Puede que no haya un único $y$ para cada $x$ Y entonces necesitaríamos algún tipo de selección medible, y no estoy versado en los teoremas necesarios. Parece que necesitaría alguna estructura en $Y$ más allá de un $\sigma$ -Álgebra. Por ejemplo, el teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski parece requerir $(Y,\mathcal F)$ sea un espacio polaco con su Borel $\sigma$ -pero creo que eso implicaría que los singletons son medibles, y entonces las definiciones se colapsan.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial. Véase la pregunta actualizada para una pregunta aparentemente más complicada.

Reclamación . Las definiciones 1 y 2 son equivalentes si los singletons son medibles.

Prueba . Para ver esto, considere la segunda definición, elija $x \in X$ y que $y \in Y$ sea como en la definición. Dado que $y \in \{y\}$ y $\{y\}$ es medible, $\kappa(x,\{y\}) = 1$ . En la otra dirección, $\kappa(x,\{y\}) = 1$ lo que implica, por la monotonicidad de las medidas de probabilidad, que $\kappa(x,A) = 1$ si $y \in A$ . Si $y \not\in A$ Entonces, de nuevo porque $\{y\}$ es medible y los hechos básicos sobre las distribuciones de probabilidad, $\kappa(x,A) = 1 - \kappa(x,Y \setminus A) \le 1 - \kappa(x,\{y\}) = 0$ .

Nota: Creo que la mensurabilidad de los singletons no es necesaria para la equivalencia porque basta que para todo $x \in X$ existe $y \in Y$ , tal que el singleton $\{y\}$ es medible.

Si adoptamos la definición 1, los comentarios de Nate Eldredge nos llevan a la siguiente prueba.

Reclamación . Supongamos la definición 1. Entonces tal $g$ existe y es medible.

Prueba . Definir $g(x)$ para ser el único $y$ satisfaciendo $\kappa(x,\{y\})=1$ . Para ver que $g$ es medible, nótese que, para todo $A \in \mathcal F$ , $\kappa(\cdot,A)$ es medible y $$\begin{align}g^{-1}(A) &= \{ x \in X : (\exists y \in A)\, \kappa(x,\{y\}) = 1 \}\\ &= \{ x \in X : \kappa(x,A) = 1 \}\\ &= \kappa(\cdot,A)^{-1}(\{1\}).\end{align}$$ Entonces, para todos los $x \in X$ , $$ \int_Y f(x,y) \kappa(x,dy) = f(x,g(x)), $$ y esta cantidad es $\mathcal A$ - medible porque se asumió que el H.I. era