homología de un complejo específico

Question

Considere el complejo $\lbrace 1, 2, 3, 4, 12, 23, 34, 41, 13, 123 \rbrace$ . Visualmente, es un cuadrado con un borde diagonal, con un agujero y una cara.

Al calcular las homologías, terminé obteniendo que $H_{0} = R^{2}$ , donde $R$ es el anillo de coeficientes sobre las bases de los grupos de cadenas. Pensaba que la dimensión de $H_{0}$ debería darnos siempre el número de componentes conectados, que en este caso es uno. ¿Por qué recibo dos?

Answer 1

Tenemos $$H_0=\frac{\ker\partial_0}{\operatorname{im}\partial_1}.$$ Aquí, $\ker\partial_0$ es el libre $R$ -módulo generado por $1,2,3,4$ y $\operatorname{im}\partial_1$ es el submódulo de $\ker\partial_0$ generado por $2-1,3-1$ y $4-1$ . Por lo tanto, los elementos del cociente tienen la forma $$\alpha 1+\beta2+\gamma3+\delta4+\operatorname{im}\partial_1=(\alpha+\beta+\gamma+\delta)1+\operatorname{im}\partial_1,\qquad\alpha,\beta,\gamma,\delta\in R.$$ Con esto, podemos ver que $R\cong H_0$ donde el isomorfismo viene dado por $\lambda\mapsto\lambda 1+\operatorname{im}\partial_1$ . (Así, en lugar de $R^2$ deberías estar recibiendo $R$ .)