Masa integrales en dim-reg

Question

Considerar la masa divergentes integral $$ \int dk^4 \frac{1}{k^2}, $$ que se produce en QFT. No podemos regularizar esta integral con dim-reg; la continuación de la masiva a la masa de caso está mal definida. Se puede demostrar, sin embargo, que no hay "inconsistencias" ocurrir si $$ \int dk^4 \frac{1}{k^2} "=" 0. $$ Creo que este es el ahora probado 't Hooft-Veltman conjetura. No entiendo esta "ecuación". La integral no es ciertamente cero (a pesar de las inconsistencias pudieran producirse en dim-reg si no fuera tratada como cero en algunos contextos.)

Supongamos que yo pienso acerca de $\lambda\phi^4$ teoría, sin desnudo de masa para el campo. Es razonable afirmar que voy eligió dim-reg y calcular el bucle de corrección a la masa como $$ \delta m^2 \propto \int dk^4 \frac{1}{k^2} = 0 \qquad ? $$ Tal que la partícula permanece sin masa, sin afinar. Creo que esto es simplemente incorrecto - de una razonable aplicación de la 't Hooft-Veltman conjetura (que no tengo razón para preocuparse sobre la consistencia de los dim-reg, porque yo no soy la regulación de cualquier integrales con él). Seguramente el 't Hooft-Veltman conjetura sólo puede ser aplicado en contextos particulares? Yo no puedo empezar a hacer cualquier cálculo en QFT, ver una integral como $$ \int dk^n \frac{1}{k^a} = 0 \text{ para $n>a$}, $$ y el conjunto es cero, citando dim-reg y 't Hooft-Veltman?

P. S. Esto no es un hombre de paja. He leído gente que dice estas cosas en el contexto de la clásica escala de invariancia.

Answer 1

El problema con este tipo de integrales es que es la radiación ULTRAVIOLETA y del IR divergentes. Por lo tanto, necesidad de introducir dos reguladores (para regular las divergencias). Para regular la UV divergencia, utilizamos dimreg. Para regular el IR divergencia, le damos a la partícula de una masa y, a continuación, tomar la masa límite. Haciendo de ellos, la integral se convierte en $$ I = \lim_{m^2 \to 0} \int d^d k \frac{1}{k^2 m^2 + i \varepsilon} $$ Ahora podemos girar la Mecha y obtenemos (no voy a seguir la pista del total de las constantes) $$ I \sim \int d^d k_E \frac{1}{k_E^2 + m^2} = \Omega_{d-2} \int_{0}^{\infty} \frac{k_E^{d-1} d k_E}{k_E^2 + m^2} \sim m^2 \left[\frac{2}{\epsilon} + \log \frac{m^2}{\mu^2} + {\cal O}(\epsilon) \right] $$ Ahora, tomamos la masa límite para hacer el bien integral definida y se obtiene $$ I = 0 $$

De manera más general, es fácil mostrar (sólo mediante el análisis dimensional) que si introducimos la masa para regular el IR divergencia $$ \int d^n k \frac{1}{k^a} = \lim_{m^2 \to 0} \int d^n k \frac{1}{\left( k^2 m^2 \right)^{/2}} \propto \lim_{m^2 \to 0} m^{n -} $$ Por lo tanto, mientras $n > a$, este límite nos da 0.

Answer 2

Como el OP dice, utilizando dimensiones de regularización de onda lejos de la naturalidad problema sería bastante imprudente. Te explicamos a continuación:

Caso 1: Si usted honestamente creo que no hay un nuevo grado de libertad más allá del modelo estándar (por lo menos hasta la escala de Planck, donde todo el infierno que podría desprenderse, por todo lo que la atención) Y que creen en el 't Hooft-Veltman conjetura (como se indica en la pregunta) entonces se puede afirmar que no existe el problema de la jerarquía puesto que no puede ser cualquier divergentes contribuciones.

Caso 2: sin Embargo, tenga en cuenta que las dimensiones de regularización se deshace de infinitas piezas, no grandes constante de las piezas. Así que si usted tiene cualquier nuevo grado de libertad en su teoría, entrando en una parte de la masa de la escala de $\Lambda$, a continuación, puede ver la integral de obtener cut-off en el que se escala en la UV -- entonces no hay conjetura ahorrará a usted y usted tiene un gran finito contribución de la orden de $\lambda \Lambda^2$, que es la esencia de la naturalidad problema.

Personalmente, Caso-1 parece muy raro para mí, pero esto no ha sido demostrado equivocado. Si usted pragmática que preocuparse de tener más/nuevos grados de libertad en energías superiores que le hable a su campo escalar (Incluso si no están directamente acoplados, que puede hablar a través de la gravedad, por mi parte :-?) entonces tienes que venir para arriba con algún mecanismo (aparte de Caso-1) para resolver la naturalidad problema.