Los coobjetos son mejores

Question

Esta es una pregunta bastante vaga, pero tal vez podamos hablar de ella.

Hay dos tipos de objetos matemáticos (que no se excluyen entre sí):

A) Existe una buena descripción de los morfismos definidos en este objeto.
B) Existe una buena descripción de los morfismos definidos en este objeto.

Por lo tanto, A) significa que se entiende el homfuntor covariante, y B) significa que se entiende el homfuntor contravariante. Esto se aplica sobre todo a los objetos universales. Dentro de la teoría de categorías, los conceptos son simplemente duales entre sí y, por tanto, la "teoría" de A) es esencialmente la misma que la teoría de B). Pero la mayoría de las categorías que se estudian en matemáticas no se juntan con su dual, por lo que este argumento categorial no es realmente bueno. De hecho, tengo la sensación de que en la "matemática cotidiana", A) aparece mucho más a menudo que B). Y que es más fácil trabajar con ellas. Por supuesto, podríamos discutirlo. Por ejemplo, tengo una mejor sensación con los colímites que con los límites. [quizás añada ejemplos aquí]

Si tiene la misma sensación: ¿Podemos dar razones para ello?

Creo que el principio básico de encolado, que aparece en muchas categorías geométricas, pertenece siempre a A). Esta podría ser una razón. ¿Qué opina usted?

Answer 1

Querido Martin,

Como señala Harry en sus comentarios, en ciertos entornos (por ejemplo, los espacios de moduli) un objeto se caracteriza por los mapas en. En otros (por ejemplo, el grupo abeliano libre en un generador), la caracterización es por mapas hacia fuera.

Ciertamente, en el álgebra, los objetos inyectivos (caracterizados por mapas en) se consideran típicamente como más misteriosos y de caja negra que los proyectivos (en los que se suele pensar en módulos libres, que son bastante concretos). Conozco varias situaciones en las que alguien ha hecho verdaderos progresos mediante el uso juicioso de objetos inyectivos, y estoy seguro de que parte del obstáculo para los investigadores anteriores era simplemente que los injetivos no son tan familiares; en resumen, hay probablemente se puede ganar un arbitraje para algunos (yo mismo, al menos) aprendiendo más sobre los injetivos en varios contextos y tratando de usarlos con la misma fluidez con la que se usan los objetos libres.

En topología y geometría, quizá haya más fluidez entre ambas caracterizaciones. Por ejemplo, los mapas hacia el círculo lo convierten en el espacio de Eilenberg-Maclane $K({\mathbb Z},1)$ , mientras que define el grupo fundamental.

Tienes razón en que el cociente por una relación de equivalencia (pegado) está relacionado con mapear. Tal vez sea ésta una de las razones por las que la construcción de espacios de moduli (por ejemplo, los esquemas de Picard de Picard) puede ser bastante complicada; se caracterizan por los mapas de entrada, pero a menudo se se construyen mediante un procedimiento de encolado, lo que crea un conflicto; de este modo, uno se encuentra trabajando localmente, y se ve abocado a cuestiones de teoría de gavillas/apilamientos.

Ciertamente, la tensión entre ambas caracterizaciones ha sido una fuente fértil para buenas matemáticas.