Consideremos la representación estándar de la esfera con $g$ maneja como complejo CW ( $4g$ -gon), obviamente si eliminamos algún punto $p$ obtenemos la retracción de la deformación en la frontera y si factorizamos la frontera, obtenemos $\vee_{n=1}^{2g} \mathbb{S}^1$ . Pero es muy poco riguroso y tal vez pueda utilizar el teorema de aproximación de CW (o teorema HEP), para hacerlo más riguroso?
Respuesta
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Si se está familiarizado con los mapas cotizantes y las topologías cotizantes y cómo utilizarlos, y cómo se relacionan con los complejos CW, este argumento es fácil de hacer completamente riguroso. He aquí un breve resumen.
Dejemos que $S$ sea la superficie. Sea $P$ ser un regular $4g$ -gon en el plano centrado en un punto $p$ . Sea $f : P \to S$ sea un mapa característico de la única celda 2 de la estructura CW dada en $S$ , de manera que la restricción de $f$ a cada lado de $P$ es un mapa característico de una de las celdas 1. El mapa $f$ es un mapa cociente. La restricción $f \bigm| \partial P$ es un mapa cociente sobre el $1$ -esqueleto $f(\partial P)$ que es homeomorfo a una cuña de $2g$ círculos.
El mapa radial $r : P-p \mapsto \partial P$ es una retracción por deformación. Además, el mapa compuesto $$R : P-p \xrightarrow{r} \partial P \xrightarrow{f} f(\partial P) $$ tiene la propiedad de que para cada punto $x \in f(\partial P)$ la función $R$ es constante en el conjunto $f^{-1}(x)$ . De ello se deduce que la función $R$ induce una función continua $S-f(p) \mapsto f(\partial P)$ . Inducir funciones de esta manera es un lema técnico clave que se utiliza para hacer rigurosos los argumentos de los mapas cotizados.
La homotopía radial --- la que se utiliza para demostrar que el mapa radial es una retracción de la deformación --- también es constante en cada punto preimagen de $f$ y por lo tanto también desciende a una homotopía de la función inducida $S-p \mapsto f(\partial P)$ que se utiliza para demostrar que esta función inducida es una retracción de la deformación.
