¿Cómo demostrar que $e^x=x$ no tiene solución real?

Question

Estoy realmente desconcertado por esta ecuación. $$e^x=x$$ Necesito demostrar que esta ecuación no tiene raíces reales. Pero no tengo ni idea de cómo empezar.

Si miras los gráficos de $y=e^x$ y $y=x$, puedes ver que esas gráficas no se cruzan en ningún punto. Pero estoy tratando de encontrar una prueba algebraica y rigurosa. Cualquier ayuda es apreciada. ($e^\infty=\infty$ parece ser una solución pero ¿lo es?)

Answer 1

1. Para $x \le 0$ tenemos $e^x >0$, por lo tanto no existe solución de la ecuación anterior en $(-\infty, 0)$

2. Si $x>0$, entonces $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots>x$. Por lo tanto: no existe solución de la ecuación anterior en $(0, \infty)$.

Answer 2

Estudia $f : x \mapsto e^x - x$

Su derivada es $x \mapsto e^x-1$ que se anula en $0$, es negativa antes y positiva después, por lo tanto, $f$ alcanza un mínimo en $0$, y ese mínimo es $f(0) = 1 \gt 0$. Por lo tanto, $f$ nunca se anula, y por lo tanto no hay soluciones reales para la ecuación $e^x -x = 0$ es decir $e^x = x$

Answer 3

Sea $f(x) = e^x - x$. $f'(x) = e^x -1 \geq 0$ y por lo tanto $f$ es creciente. Así que para cualquier $x > 0$, $f(x) > f(0)$ y por lo tanto $e^x > x+1$ y $f(x) = 0$ no tiene solución cuando $x > 0$. Para $x < 0$, $e^x >0$ y $x < 0$ y por lo tanto $e^x \neq x$.

Answer 4

En $x=0$, $e^x>x$ ahora la derivada de $y=x$ es $1$ mientras que la derivada de $e^x$ es $e^x$ que es creciente y siempre positiva por lo tanto las dos gráficas nunca se cruzan.

Answer 5

Tenemos $e^x=x$ si y solo si $x=\ln x$, lo cual significa, entre otras cosas, que no puede haber solución con $x\le0$. Para $x\gt0$, tenemos

$$\ln x=\int_1^x{dt\over t}\le\int_1^xdt=x-1\lt x$$

por lo que tampoco hay solución para $x\gt0$.

Observación: La desigualdad clave entre las dos integrales puede parecer desconcertante para $x\lt1$, ya que ${1\over t}\gt1$ en ese caso; pero sigue siendo correcta porque las integrales son ambas negativas.