Determinar si $\int^{1/2}_0\frac{1}{\sin x\cdot \ln x}dx$ es convergente, convergente absoluta o divergente.

Question

Estoy tratando de determinar si $\int^{1/2}_0\frac{1}{\sin x\cdot \ln x}dx$ es convergente, convergente absoluta o divergente.

Dejemos que $f(x) = \frac{1}{\sin x\cdot \ln x}$ , $f(x)< 0$ para $(0,0.5]$ .

Por lo tanto, supongo que tengo que trabajar con $-f(x) \ge 0$ en esta pregunta.

Estoy tratando de utilizar la regla de comparación sin éxito para resolver esto.

He pensado en utilizar la función $h(x) = \frac{-1}{\ln x}$ que mantiene $f(x)>g(x)$ en el intervalo de la pregunta, aunque eso no me llevó a ninguna parte.

¿Cuáles son mis opciones en este caso?

Answer 1

$\sin{x}<x$ para $0<x<\pi/2$ (haz un dibujo para verlo). Así que $$ \frac{1}{\sin{x} \cdot (-\log{x})} >\frac{1}{x \cdot (-\log{x})}, $$ y esto tiene antiderivada $-\log{(-\log{x})}$ . Esto es finito cuando $x=1/2$ y diverge para $x \to 0$ por lo que la integral original diverge.