Subcampos de los anillos matriciales

Question

El conjunto

$$S= \left\{ \left(\begin{array}{cc}a&b \\ -b&a \end{array}\right):a, b\in\mathbb{R} \right\}$$

es un subring de un anillo matricial $M_2(\mathbb R)$ isomorfo a $\mathbb C$ . ¿Podemos encontrar otros subring $L$ de $M_2(\mathbb R)$ que también es isomorfo a $\mathbb C$ y tal que $S\cap L= \left\{ \left(\begin{array}{cc}a&0 \\ 0&a \end{array}\right):a \in\mathbb R\right\}$ ?

Answer 1

Para describir las posibles $L$ Sólo hay que decir cuál es la matriz $A$ correspondiente a $i$ bajo el isomorfismo con $\mathbb C$ . Debemos tener $A^2+I=0$ y, de hecho, esto es suficiente: dada cualquier matriz $A$ con esa propiedad, el subespacio de $M_2(\mathbb R)$ abarcada por la matriz de identidad y $A$ es un campo isomorfo a $\mathbb C$ satisfacer su condición.

Así que sólo tenemos que describir las posibles matrices $A$ . ¿Puedes hacerlo?

Answer 2

Existe un importante vínculo con la geometría, como se indica a continuación. El grupo $\text{GL}_2^+(\Bbb R)$ de matrices con determinante positivo actúa sobre el semiplano superior complejo $$ \cal H=\{z=x+iy\in\Bbb C\text{ such that }y>0\} $$ mediante transformaciones lineales fraccionarias $$ \left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d \end{array}\right)\cdot z=\frac{az+b}{cz+d} $$ Entre paréntesis, estas transformaciones son isometrías cuando $\cal H$ se le da la métrica que lo convierte en un modelo del plano hiperbólico. Entonces las matrices $$ M=\left(\begin{array}{cc}a&b \\ -b&a \end{array}\right) $$ son exactamente los que estabilizan $i$ es decir $M\cdot i=i$ y forman un subgrupo isomorfo al grupo multiplicativo $\Bbb C^\times$ . Resulta que el otro subgrupo de $\text{GL}_2(\Bbb R)$ isomorfo a $\Bbb C^\times$ son precisamente los estabilizadores de los distintos puntos de $\cal H$ .

Por último, el hecho de que todos estos subgrupos sean conjugados es la "traducción" de que la acción descrita es transitiva, ya que $$ \left(\begin{array}{cc}y&x \\ 0&1 \end{array}\right)\cdot i=x+iy. $$

Answer 3

Para cualquier matriz invertible $B$ la conjugación $X \mapsto BXB^{-1}$ es un homomorfismo de anillo inyectivo y, por tanto, mapea $S$ a un subcampo isomórfico. Prueba, por ejemplo, $B=\begin{pmatrix}1&1\\ 0& 1 \end{pmatrix}$ .