La equivalencia de las definiciones de $S^\infty$

Question

Considere las siguientes dos definiciones de la infinita esfera de $S^\infty$. Por qué se definen homeomórficos espacios?

$1)$ El conjunto de puntos en $\mathbb R^\infty$ con la distancia $1$ desde el origen.

$2)$ El CW complejo con $2$ $0$-las células, $2$ $1$-las células, $2$ $2$-las células, y así sucesivamente, con $2$ $n$-las células de cada una de las $n$ en general, de tal manera que el $n$-esqueleto es $S^n$.

Puedo mostrar (gracias a una útil la respuesta a la pregunta anterior me pidió que la CW-complejo de $S^n$ es el mismo que el espacio Euclidiano definición de $S^n$ finitas $n$, pero no veo cómo mostrar el límite de estos espacios son homeomórficos. Tengo una vaga idea de que la prueba podría implicar la idea de un colimit, pero yo no sé nada acerca de la categoría de teoría. Más elementales sugerencias también son bienvenidos.

Answer 1

Para $n<m$ podemos isométricamente incrustar $\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ mediante la asignación a la primera coordenadas / rellenar con ceros. De esta manera el límite de todas las $\mathbb R^n$$\mathbb R^\infty$, el conjunto de todas las secuencias de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ con casi todos los términos de $=0$, que todavía recibe su topología del producto escalar $\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ (que funciona porque la suma es en realidad finita).

Consideremos el conjunto a $S^\infty:=\{x\in\mathbb R ^\infty\mid \lVert x\rVert = 1\}$. Para cada una de las $n\in\mathbb N$ $\epsilon\in \{\pm1\}$ tenemos el subconjunto $$C_{n,\epsilon}=\{x\in S^\infty\mid x_n\epsilon>0\land \forall k>n\colon x_k=0\}.$$ A continuación, $C_{n,\epsilon}$ es sólo un hemisferio de $S^{n-1}\subset \mathbb R^n$ y las pequeñas que conforman el ecuador. Más precisamente, el mapa $$(x_1,\ldots,x_{n-1})\mapsto (x_1,\ldots, x_{n-1},\epsilon \cdot\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_{n-1}^2}, 0,0, \ldots) $$ definido en el cerrado $(n-1)$-ball es un homeomorphism de su interior con $C_{n,\epsilon}$, y la de su frontera con la unión de todos los $C_{n',\epsilon'}$ y, al mismo tiempo,$S^{n-1}\subset \mathbb R^{n-1}\subset \mathbb R^\infty$.

Esto muestra el CW-estructura se describe en "2)".