Cambio de variables de ecuaciones diferenciales y, en particular, problemas de valor inicial

Question

Considere la siguiente tarea:

Transformar el problema de valor inicial dado en un problema equivalente con el punto inicial en el origen: $\frac{dy}{dt} = 4 - y^3$ , $y(-1) = 2$

Tengo la sensación de que hay una operación elemental que no he aprendido durante mi educación, viendo como escribe el texto:

...si se da algún otro punto inicial, siempre podemos hacer un cambio preliminar de variables, correspondiente a una traslación de los ejes de coordenadas, que llevará al punto dado $(t_0, y_0)$ en el origen.

Agradecería que alguien me explicara este punto, y en particular, que describiera cómo se transforma el problema dado en

$\frac{dw}{ds} = 4 - (w + 2)^3$ , $w(0) = 0$

Answer 1

La condición $y(-1)=2$ significa que la solución de su EDO pasa por el punto $(-1,2)$ en el $(t,y)$ avión.

Quieres "mover" tu eje para que el punto inicial pase por el punto $(0,0)$ en su lugar. Para ello, el $t$ tiene que "moverse 1 unidad a la derecha" y el $y$ eje tiene que moverse "2 unidades hacia abajo". ¿Puedes visualizar esta traslación?

La traslación viene dada entonces por el siguiente conjunto de ecuaciones $$\tag{1} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{s = t + 1}\\{\omega = y - 2}\end{array}} \right.$$

Así que ahora, en el "nuevo" $(s,\omega)$ plano su punto inicial es $(0,0)$ . Puede comprobarlo conectando $t=-1$ y $y=2$ en $(1)$ .

Ahora, se quiere ajustar la ecuación diferencial con respecto a las nuevas variables, es decir, se quiere encontrar la expresión para $\frac{d \omega}{ds}$ en términos de $\frac{dy}{dt}$ y sustituirlo por $t$ y $y$ en términos de $s$ y $\omega$ respectivamente. Para ello se recurre a la regla de la cadena. Lo voy a hacer en varios pasos, para que sea más fácil de entender.

$$ \tag{2} \frac{{d\omega }}{{dt}} = \underbrace {\frac{{d\omega }}{{dy}}}_{ = 1}\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dt}}$$

$$ \tag{3} \frac{{d\omega }}{{ds}} = \underbrace {\frac{{d\omega }}{{dt}}}_{\frac{{dy}}{{dt}}}\underbrace {\frac{{dt}}{{ds}}}_{ = 1} = \frac{{dy}}{{dt}}$$

En $(3)$ He utilizado el hecho de que $s = t + 1 \Leftrightarrow t = s - 1$ para calcular $\frac{dt}{ds}$ .

Observando que $\omega = y - 2 \Leftrightarrow y = \omega + 2$ llegamos a $$\frac{{d\omega }}{{ds}} = \frac{{dy}}{{dt}} = 4 - {y^3} = 4 - {\left( {\omega + 2} \right)^3}.$$

Y eso es todo. Mediante este cambio de variables hemos transformado el problema inicial de la EDO en: $$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{d\omega }}{{ds}} = 4 - {y^3} = 4 - {\left( {\omega + 2} \right)^3}\\\omega \left( 0 \right) = 0\end{array} \right. .$$