EDIT: En base a los comentarios, creo que esto responde con más precisión a la pregunta del OP:
Los axiomas para los anillos son en realidad de primer orden -¡y decimos que constituyen una teoría de primer orden! Básicamente, puedo escribir los axiomas de los anillos como oraciones de primer orden en el lenguaje $\{+, \times,0, 1\}$ y entonces los anillos son lo mismo que los modelos de este conjunto de axiomas. Estos modelos, por supuesto, son conjuntos, por lo que sólo podemos hablar de ellos directamente en general dentro de una teoría de conjuntos; pero el propio conjunto de axiomas es de primer orden. (Y nótese que aún podemos hablar del teoría de anillos, y deducciones de esa teoría, en una teoría sin conjuntos como PA).
Lo mismo ocurre con los grupos, los campos, etc. Lo mismo ocurre con esencialmente cierto Por cierto, para los "espacios topológicos débiles" (no sé cómo se llaman realmente): digamos que un espacio topológico débil es un conjunto $X$ junto a una familia $\tau$ de subconjuntos de $X$ que contiene $X$ y $\emptyset$ y cerrado bajo uniones finitas y las intersecciones finitas. A continuación, consideremos el lenguaje $\{E, P, S\}$ con una única relación binaria $E$ y dos relaciones unarias $P, S$ . Intuitivamente, $P$ se refiere a los puntos, $S$ se refiere a conjuntos (de puntos), y $E$ se refiere a la afiliación. Consideremos ahora el siguiente conjunto de oraciones de primer orden:
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$\forall x((P(x)\vee S(x))\wedge\neg(P(x)\wedge S(x)))$ . Lo único que hay en nuestra estructura son puntos o conjuntos, y éstos son disjuntos entre sí.
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$\forall x, y(E(x, y)\implies P(x), S(y))$ . La pertenencia es una relación entre puntos y conjuntos, únicamente.
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$\forall x, y(S(x), S(y), \forall z(E(z, x)\iff E(z, y))\implies x=y)$ . _Los conjuntos con los mismos elementos son iguales._
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$\forall x, y(S(x), S(y)\implies \exists z(S(z)\wedge\forall w(E(w, z)\iff E(w, x)\wedge E(w, y)))).$ Intersección de dos conjuntos (por tanto, un número finito de conjuntos es un conjunto.
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$\forall x, y(S(x), S(y)\implies \exists z(S(z)\wedge\forall w(E(w, z)\iff E(w, x)\vee E(w, y)))).$ Uniones finitas.
Un modelo de estos axiomas no es necesariamente literalmente un espacio topológico débil - el $S$ -los elementos pueden no ser realmente conjuntos de $P$ -elementos- pero pueden ser identificado canónicamente con espacios topológicos débiles: dado un modelo $\mathcal{M}=(M; P^M, S^M, E^M)$ podemos asignarle un espacio topológico débil $T_\mathcal{M}$ con el conjunto subyacente $\{m\in M: \mathcal{M}\models P^M\}$ y los "conjuntos abiertos" exactamente los de la forma $\{m\in M: \mathcal{M}\models E(m, s)\}$ para algunos $s\in\{m\in M: \mathcal{M}\models S(m)\}$ . A la inversa, cada espacio topológico débil puede ser visto como un modelo de la teoría anterior de la manera obvia. Así que tenemos una dicotomía:
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Ser literalmente un espacio topológico débil no es lo mismo que satisfacer un conjunto de axiomas de primer orden (mientras que ser un anillo es es lo mismo que ser una estructura que satisface el conjunto de axiomas del anillo de primer orden), pero
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Hay un conjunto de axiomas de primer orden, cuya clase de modelos es equivalente a la clase de espacios topológicos débiles en un sentido preciso (hay una función definible entre las dos clases que es apropiadamente suryente e inyectiva hasta el isomorfismo).
Finalmente, espacios topológicos completos ni siquiera son moralmente de primer orden: esto se debe a la uniones infinitas bit, que es fundamentalmente de segundo orden. En cambio, hay un conjunto de de segundo orden sentencias tales que los espacios topológicos son apropiadamente equivalentes a los modelos de este conjunto de sentencias. Nótese, sin embargo, que para hablar de la satisfacción de las sentencias de segundo orden tenemos que trabajar en un contexto más teórico de conjuntos que si sólo nos preocupamos por la satisfacción de las sentencias de primer orden, y las cuestiones teóricas de conjuntos son más relevantes: por ejemplo, (su teoría de conjuntos favorita demuestra que) ¡hay una sentencia de segundo orden que es verdadera en cada estructura si se cumple la hipótesis del continuo!
EDIT: La idea clave es que definiciones en una extensión por definiciones son esencialmente definiciones en la lengua original ya . En concreto, se puede escribir fácilmente un programa informático que convierta una fórmula en una extensión por definiciones $L'$ de $L$ en una fórmula correspondiente en $L$ . Así que, en realidad, todo esto se reduce a que el lenguaje de la teoría de conjuntos tiene suficientes expansiones por definiciones, y esto se proporciona bastante rápidamente jugando con el lenguaje (por ejemplo, descubrir cómo expresar "función", "secuencia", "relación", "producto cartesiano").
Haré dos ejemplos (espacios topológicos y grupos), y espero que esto indique por qué estas cosas no se suelen hacer explícitamente - es muy sencillo y bastante tedioso.
Espacios topológicos .
Definición habitual : Un espacio topológico es un par ordenado $(X, \tau)$ donde $X$ es un conjunto, $\tau$ es un conjunto de subconjuntos de $X$ y $\tau$ es cerrado bajo intersecciones finitas, uniones arbitrarias y contiene $X$ y $\emptyset$ .
Definición formal en el lenguaje de la teoría de conjuntos : $\varphi(x)$ es la fórmula, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, que expresa
He utilizado símbolos que no están explícitamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos, a saber, $\langle\cdot,\cdot \rangle$ , $\subseteq$ , $\bigcup$ , $\subseteq_{finite}$ , $\emptyset$ . Pero es un ejercicio fácil para deshacerse de estos, y obtener una fórmula utilizando sólo " $\in$ ." Pero dado que la traducción es completamente directa, no estoy seguro de qué valor aporta esto.
Grupos .
Definición habitual : Un conjunto con una operación binaria que satisface [stuff].
Definición formal en el lenguaje de la teoría de conjuntos : $\psi(x)$ es la fórmula, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, que expresa
Recuerda que las funciones, y los productos cartesianos, son elementales para definir en el lenguaje de la teoría de conjuntos; y así todo aquí es fácil de escribir.
Uno de los valores de la teoría de conjuntos es que los conceptos de las matemáticas se traducen sin esfuerzo en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Dicho esto, también traducen tediosamente Por lo tanto, se puede argumentar que deberíamos utilizar algo distinto a ZFC; pero por eso no se ven este tipo de definiciones escritas en su totalidad.
