Los polinomios de Hermite se definen como $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.$$
¿Cómo se demuestra que todas las raíces del polinomio de Hermite son reales?
Respuestas
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Andrew
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La ruta algebraica lineal de alto nivel implica derivar la relación de recursión
$$\hat{H}_{n+1}(x)=x\hat{H}_n(x)-\frac{n}{2}\hat{H}_{n-1}(x)$$
para el monic Polinomio de Hermite $\hat{H}_n(x)=2^{-n}H_n(x)$ (es decir, el polinomio normalizado para tener coeficiente principal unitario), y a partir de él derivar la tridiagonal simétrica Matriz de Jacobi
$$\begin{pmatrix}0&\sqrt{\frac12}&&&\\\sqrt{\frac12}&0&\sqrt{\frac22}&&\\&\sqrt{\frac22}&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&\sqrt{\frac{n-1}2}\\&&&\sqrt{\frac{n-1}2}&0\end{pmatrix}$$
cuyo polinomio característico es $\hat{H}_n(x)$ . Demuestra que los valores propios de una matriz simétrica son todos reales, y ya está.
Por inducción, $H_n$ es un polinomio de grado $n$ . Sus raíces son los ceros de $u_n(x) = \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}$ . Pero por el teorema de Rolle, entre dos ceros cualesquiera de una función diferenciable hay un cero de su derivada. Lo mismo ocurre entre un cero y $+\infty$ o $-\infty$ para una función que va a $0$ en $\pm \infty$ .
