Encuentra los otros dos lados en un triángulo de 15-30-135

Question

Un triángulo tiene medidas de ángulo de 15, 30 y 135 grados. El lado opuesto al ángulo de 15 es x pies, el lado opuesto al ángulo de 30 es y pies y el lado opuesto al ángulo de 135 es 2 pies.

Encuentra x e y sin utilizar la ley del seno.

Answer 1

Aplica la regla del seno en el triángulo dado de la siguiente manera $$\frac{x}{\sin 15^\circ}=\frac{y}{\sin 30^\circ}=\frac{2}{\sin 135^\circ}$$ considerando primero y tercero, $$\frac{x}{\sin 15^\circ}=\frac{2}{\sin 135^\circ}$$

$$x=\frac{2\sin 15^\circ}{\sin 135^\circ}=\frac{2\sin (45^\circ-30^\circ)}{\sin 45^\circ}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{1}{\sqrt 2}\frac{1}{2}\right)}{\frac1{\sqrt 2}}=\color{red}{\sqrt 3-1}$$ similarmente, considerando segundo y tercero, $$\frac{y}{\sin 30^\circ}=\frac{2}{\sin 135^\circ}$$ $$y=\frac{2\sin 30^\circ}{\sin 135^\circ}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt 2}}=\color{red}{\sqrt 2}$$

Answer 2

Dibuja un triángulo de 30-60-90 con hipotenusa = 2, altura = 1, y base = $\sqrt 3$.

Dentro de él construye un triángulo de 90-45-45 de manera que el 90-45-45 y el 90-60-30 compartan la misma altura = 1. La base es 1. Y la hipotenusa es $\sqrt 2$. La línea en el lado opuesto de esta base, extendiéndose hasta la base del triángulo original de 30-60-90 será de longitud $\sqrt 3 - 1$.

Ahora elimina el triángulo de 90-45-45 del triángulo de 90-60-30 y te queda un triángulo de 15-30-135. Este es tu triángulo.

El lado opuesto al 135 es la hipotenusa original = 2. El lado opuesto al 30 es la hipotenusa del 90-45-45 y es igual a $\sqrt 2$. El lado restante es $\sqrt 3 - 1$, la base del 30-60-90 menos la base del 90-45-45.

Answer 3

Pista: Dibuja el triángulo en un plano de coordenadas. Llama al triángulo $ABC$ con el ángulo $A$ igual a 135 grados y en el origen. Deja que $B$ sea el ángulo de 30 grados y posicionarlo a lo largo del eje $x$ positivo. Deja que $C$ sea el ángulo de 15 grados. $C$ estará en el segundo cuadrante debido al ángulo de 135 grados. El lado $BC$ mide 2 pies. Suelta la perpendicular desde el vértice $C$ hacia el eje $x$. Esto forma un triángulo rectángulo de 30-60-90 $BCD$ con el ángulo $D$ como el ángulo de 90 grados. Desde ahí, puedes usar este triángulo para ayudarte a descifrar los lados.