Potencia n-ésima de un operador lineal autoadjunto

Question

Estoy tratando de hacer un ejercicio que va así

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $T:H\rightarrow H$ un operador lineal autoadjunto acotado y $T\neq 0$ entonces $T^n\neq 0$ .

Así que mi idea era hacer esto por inducción en $n$ . Supongamos que $T^2=0$ entonces tendremos que $\langle T^2x,x\rangle=0 ,\forall x\in X$ y así tendremos que $||Tx||^2=0,\forall x\in X$ en contradicción con el hecho de que $T\neq 0$ . Supongamos ahora que $T^n=0$ Esto significa que $ImT^{n-1}\neq 0 \subset Ker T$ . Ahora sabemos que el operador $T^{n-1}$ es autoadjunto ya que $T$ es autoadjunto y conmuta consigo mismo por lo que tendremos que $ImT^{n-1}\subseteq(KerT^{n-1})^\perp$ y como $Ker T\subseteq Ker T^{n-1}$ tenemos que $(KerT^{n-1})^{\perp} \subseteq(KerT)^{\perp}$ y así tenemos que $Im T^{n-1}=\{0\}$ en contradicción con nuestra hipótesis de inducción. ¿Es esto correcto o hay una forma mejor y más elegante de hacerlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Su prueba es correcta.

Para una prueba un poco más corta, observe que su primera implicación $T^2=0 \implies T=0$ se generaliza a $T^{2^n}=0 \implies T=0$ por inducción, por lo que si $T^m=0$ entonces $T^{2^n}=0$ para cualquier $m\le 2^n$ y por lo tanto $T=0$ sigue.