¿Límite mediante sumas de Riemann?

Question

Estoy trabajando en este límite supongo que tenía que ver con las sumas de Riemann tipo de ejercicio por lo que estoy tratando de calcular: $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)\,!}{n^n\,n \,!}\right)^{\frac{1}{2n}}$$

Esto es lo que he conseguido hasta ahora:

$$\lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{2n}{\ln\left(\frac{(2n)\,!}{n^n\,n \,!}\right)}} $$ Ahora trato de reducir la división factorial: $\frac{(2n)\,!}{n \,!}=\frac{2n(2n-1)(2n-2) \cdots(2n-(n-1))(n)(n-1)\cdots2\cdot1}{(n)(n-1)\cdots2\cdot1}=2n(2n-1)(2n-2) \cdots(2n-(n-1))=\prod_{k=1}^{n-1}(2n-k)$

Por lo tanto, puedo escribir el logaritmo como : $\ln\left(\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(2n-k)}{n^n}\right)=\ln \left(\prod_{k=1}^{n-1}(2n-k)\right)-n\ln(n)$

Y también transformo el logaritmo en una suma que debería verse así: $\sum_{k=1}^{n-1}\ln(2n-k)$

Así que, al final conseguí esto: $$\lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{2n}{\sum_{k=1}^{n-1}\ln(2n-k)-n\ln(n)}}$$

Ahora lo que no consigo averiguar es cómo continuar, quiero conseguir algún tipo de $k/n$ dentro de la suma y también los límites de la suma que obtuve no me convencen... ¿alguien puede ayudarme o indicarme algún error que haya podido cometer? Gracias de antemano ;)

Answer 1

Una pista:

Si $A=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)\,!}{n^n\,n \,!}\right)^{\frac{1}{2n}}$

$\ln A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{2n}\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{(2r-1)(2r)}{n r}$

$2A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2(2r-1)}n=\ln2+\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2r-1}n$

Ahora $\displaystyle\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2r-1}n=\sum_{r=1}^{2n}\ln\dfrac rn-\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2r}n$

$\displaystyle\implies\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2r-1}n=\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^{2n}\ln\dfrac rn-\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^n\ln\dfrac{2r}n$

Set $2n=m$ en la primera suma y para ambas la suma, utiliza $$\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx$$

Answer 2

Por criterios de relación con la raíz

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} \rightarrow L\implies a_n=b_n^{\frac{1}{n}} \rightarrow L$$

desde

$$\left(\frac{(2n+2)\,!}{(n+1)^{n+1}\,(n+1) \,!}\frac {n^n\,n \,!}{(2n)\,!}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\frac {1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^{\frac{1}{2}}\to\frac{2}{\sqrt e}$$

por lo tanto

$$\left(\frac{(2n)\,!}{n^n\,n \,!}\right)^{\frac{1}{2n}}\to\frac{2}{\sqrt e}$$