Demostración de una vinculación tautológica en la Introducción a la Lógica Formal de Peter Smith

Question

Actualmente estoy trabajando en la Introducción a la Lógica Formal de Peter Smith y he intentado demostrar el siguiente teorema:
Teorema . ( ), ( ) ( ).
Prueba . Supongamos que ( ) y ( ) son verdaderos. Consideraremos dos casos.

Caso 1 . es verdadera. Entonces, como ( ) es cierto, es cierto. Entonces, como ( ) es cierto, es cierto. Por lo tanto, .

Caso 2 . es verdadera. Entonces, como ( ) es cierto, es cierto. Entonces, como ( ) es cierto, es cierto. Por lo tanto, .

Desde y , y por lo tanto, ( ). Así, podemos concluir que ( ), ( ) ( ).

No estoy seguro de que mi prueba funcione (ya que es una de mis primeras pruebas en lógica). ¿Sería correcta? ¡Gracias de antemano por su ayuda!

EDIT: Después de algunos comentarios, he intentado corregir mi prueba. Espero que ahora esté mejor:
Prueba . Supongamos que ( ) y ( ) son verdaderas bajo la interpretación que se está considerando. Demostraremos que bajo esa valoración de los átomos relevantes se deduce que ( ) es cierto. Supongamos que es cierto bajo esa interpretación. Entonces, como ( ) es verdadera bajo esa interpretación, es cierto. Entonces, como y ( ) son verdaderos bajo esa interpretación, es verdadera. Por lo tanto, si es cierto bajo la interpretación que se está considerando, es verdadera y, por lo tanto, ( ) es verdadera. Supongamos que es falso bajo esa interpretación. Entonces, obviamente, ( ) es cierto.
Supongamos ahora que es cierto bajo esa interpretación. Entonces, como ( ) es verdadera bajo esa interpretación, es cierto. Entonces, como y ( ) son verdaderos bajo esa interpretación, es cierto. Por lo tanto, si es cierto bajo la interpretación que se está considerando, es verdadera y, por lo tanto, ( ) es verdadera. Supongamos que es falso bajo esa interpretación. Entonces, obviamente, ( ) es cierto.
Desde ( ) y ( ) son verdaderos bajo la valoración dada de los átomos, ( ) es verdadera bajo esa interpretación. Por lo tanto, podemos concluir que ( ), ( ) ( ).

Answer 1

La idea es correcta, pero hay algunos pequeños errores. En primer lugar, $(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$ significa que bajo todas las interpretaciones en las que ambos $\alpha \leftrightarrow \beta$ y $\beta \leftrightarrow \gamma$ son ciertas, $\alpha \leftrightarrow \gamma$ (En la lógica proposicional, una interpretación viene dada por una asignación de valores de verdad a todas las letras de la proposición, lo que Smith llama una valoración. En la lógica cuantificada, las interpretaciones son más complicadas. No estoy seguro de en qué parte del libro de Smith te encuentras, así que no sé a qué tipo de lógica te refieres).

Para demostrar algo sobre todas las interpretaciones, deberías empezar diciendo que vas a considerar una interpretación arbitraria. Así que en tu primera frase, cuando dices que $\alpha \leftrightarrow \beta$ y $\beta \leftrightarrow \gamma$ son verdaderos, lo que quieres decir es que son verdaderos bajo la interpretación que se está considerando . Ahora tiene que demostrar que $\alpha \leftrightarrow \gamma$ es cierto bajo esa interpretación.

Luego dice que va a considerar dos casos, pero lo que presenta no son realmente casos. Más bien, lo que debería decir es que va a demostrar dos afirmaciones. La primera afirmación es que $\alpha \to \gamma$ es cierto bajo la interpretación que está considerando. Usted supone que $\alpha$ es cierto bajo la interpretación que usted está considerando y demostrar que $\gamma$ también debe ser verdadera, por lo que se establece que $\alpha \to \gamma$ es cierto bajo esa interpretación. Pero usted no ha demostrado en este punto que para cada interpretación bajo la cual $\alpha$ es cierto, $\gamma$ es cierto, por lo que no deberías decir $\alpha \vDash \gamma$ . Lo que debería decir es que $\alpha \to \gamma$ es verdadera en la interpretación considerada. Del mismo modo, el segundo argumento establece la afirmación de que $\gamma \to \alpha$ es verdadera bajo esa interpretación, y las dos afirmaciones juntas implican que $\alpha \leftrightarrow \gamma$ es verdadero, como se requiere.

Observe que no ha demostrado que $\alpha \leftrightarrow \gamma$ es verdadera bajo todas las interpretaciones; usted sólo ha demostrado que es verdadera bajo todas las interpretaciones en las que $\alpha \leftrightarrow \beta$ y $\beta \leftrightarrow \gamma$ son ambas verdaderas. Así que no has demostrado $\vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$ ; sólo ha mostrado $(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$ .

Answer 2

No he leído el libro, pero $\vDash$ indica vinculación semántica y requiere el uso de un árbol de verdad, una tabla de verdad o una prueba metalógica. Parece que quieres una prueba metalógica. Para ello tenemos que demostrar que no existe ninguna interpretación en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Tendemos a hacerlo mediante la reductio ad absurdum/prueba por contradicción, y la función de valoración. Sin embargo, diferentes autores abordan las cosas de diferentes maneras.

Prueba

Demostraremos que $\{\alpha\leftrightarrow\beta,~\beta\leftrightarrow\gamma\}\vDash\alpha\leftrightarrow\gamma$ .

Supongamos por reducción que $v(\alpha\leftrightarrow\beta)=v(\beta\leftrightarrow\gamma)=1$ y $v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$ . Como $v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$ entonces $v(\alpha)\neq v(\gamma)$ . Wlog, deja que $v(\alpha)=1$ entonces $v(\beta)=1$ , lo que significa que $v(\gamma)=v(\alpha)=1$ una contradicción.

Answer 3

Lo demuestro como sigue. Tenemos la teoría $\{ a \leftrightarrow b, b \leftrightarrow c\}$ , donde $a \leftrightarrow b \equiv (a\to b)\land(b\to a)$ y lo mismo para $b \leftrightarrow c$ . Hay que demostrar que $\{ a \leftrightarrow b, b \leftrightarrow c\} \vdash a \leftrightarrow c$ .

El axioma $(a\to b)\land(b\to a)$ y la tautología $(a\to b)\land(b\to a) \to (a\to b)$ rendimientos por Modus Ponens $(a\to b)$ . y de forma similar $(b\to c)\land(c\to b) \to (b\to c)$ rendimientos por Modus Ponens $(b\to c)$ . Ahora la tautología $(p\to q)\land(q\to r) \to (p\to r)$ da con $(a\to b)\land(b\to c)$ la fórmula $(a\to c)$ . Siguiendo pasos similares se puede obtener $(c\to a)$ Y junto con lo anterior obtenemos $(a \leftrightarrow c)$ .