¿Se puede escribir una matriz como $cU$ para $U$ ¿unitario? Para $c$ en $i\mathbb{R}$ ?

Question

De un antiguo examen cualitativo:

Determinar si la matriz

$$R = \left( \begin{matrix} i & 0 & 2 \\ 2i & 0 & -1 \\ 0 & -1 -2i & 0 \end{matrix} \right)$$

puede representarse como $\lambda U$ donde $U$ es unitaria y $\lambda$ es un número complejo. ¿Es posible con $\overline{\lambda} = -\lambda$ ?

En mi opinión, todo lo que tenemos que hacer es comprobar si los valores propios tienen todos los mismos módulos, y si los tienen, podemos dejar que $U =R/\lambda$ , donde $\lambda$ es cualquier número complejo con este módulo, en particular toma $\lambda \in i\mathbb{R}$ . 

¿Es realmente tan sencillo?

Answer 1

Si y sólo si $R = \lambda U$ para algunos $\lambda \in \mathbb{C}$ tienes

$$R^*R = (\lambda U)^* (\lambda U) = \overline{\lambda} \lambda U^* U = |\lambda|^2 I,$$

donde $|\lambda|^2 \in \mathbb{R}^+_0$ .

Editar (un comentario sobre su intento)

Dejemos que

$$A = \begin{bmatrix} -1 & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Entonces los valores propios de $A$ son $\lambda_{1,2} = \pm\sqrt{1+i}$ por lo que tienen el mismo valor absoluto $|\lambda_{1,2}| = \sqrt[4]{2}$ pero

$$A^* A = \begin{bmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & 2 \end{bmatrix} \ne cI,$$

lo que sea $c \in \mathbb{C}$ puede ser, así que $A$ no es un múltiplo complejo de una matriz unitaria.

Conclusión: No basta con observar los valores propios, porque una matriz unitaria tiene otra propiedad importante: es normal. Comprobación de los valores propios y la normalidad sería suficiente, como se puede demostrar fácilmente utilizando el (complejo) Descomposición de Schur .