Series de Fourier de Log sine y Log cos

Question

Vi las dos identidades $$ -\log(\sin(x))=\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2kx)}{k}+\log(2) $$ y $$ -\log(\cos(x))=\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\cos(2kx)}{k}+\log(2) $$ aquí: giro en el logaritmo clásico de la integral del seno y del coseno . ¿Cómo se pueden demostrar estas dos identidades?

Answer 1

Recordemos que $$\cos(2kx) = \dfrac{e^{i2kx} + e^{-i2kx}}2.$$ Por lo tanto, $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\cos(2kx)}k &= \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{e^{i2kx} + e^{-i2kx}}{2k} \\&= \dfrac12 \big(-\log (1-e^{i2x} )-\log (1-e^{-i2x} ) \big) \\&= - \dfrac12 \log \big(2 - 2\cos(2x) \big) \\&= - \dfrac12 \log\big(4 \sin^2(x)\big) \\&= - \log 2 - \log\big(\sin(x)\big).\end{aligned}$$ Por lo tanto, $$-\log\big(\sin(x)\big) = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\cos(2kx)}k + \log 2.$$ Te dejo que pruebes de forma similar la otra. Ambas igualdades deben ser interpretadas $\pmod {2 \pi i}$ .

Answer 2

He aquí otra solución que responde a las preocupaciones de Duchamp Gérard H. E.

Apelamos al siguiente resultado bien conocido en la teoría de las series de Fourier:

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Teorema: Si $f\in L_p(\mathbb{S}^1)$ , $f\sim \sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n e^{-in\theta}$ y $1\leq p<\infty$ entonces la suma de Abel $A_rf=\sum _{n\in\mathbb{Z}}r^{|n|}c_ne^{in\theta}$ converge a $f$ en $L_p$ y puntualmente en cada punto de Lebesgue de $f$ como $r\nearrow1$ .

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Primero de $$ -\log(1-re^{i\theta})=\sum_{n\geq1}\frac{r^ne^{ni\theta}}{n}=-\log|1-re^{i\theta}| -i\operatorname{arg}(1-re^{i\theta}) $$ donde $\log$ es la rama principal del logaritmo y $0\leq r<1$ , tenemos que $$ \sum_{n\geq1}\frac{r^n\cos n\theta}{n}=-\log|1-re^{i\theta}|\tag{1}\label{one} $$ $$ \sum_{n\geq1}\frac{r^n\sin n\theta}{n}=-\operatorname{arg}\big(1-re^{i\theta}\big) \tag{2}\label{two} $$

El lado izquierdo de $\eqref{one}$ es la suma de Abel de la serie $g(\theta)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos n\theta}{n}=\frac{1}{2}\sum_{|n|\geq1}\frac{e^{in\theta}}{|n|}$ una función cuadrada integrable.

De ello se desprende que $\lim_{r\nearrow1}\sum_{n\geq1}\frac{r^n\cos n\theta}{n}=g(\theta)$ en cada punto de Lebesgue de $g$ . Por otro lado, $\lim_{r\nearrow1}\log|1-re^{i\theta} |=|\log|1-e^{i\theta} |$ para cualquier $0<\theta<2\pi$ . De ello se desprende que $$ g(\theta)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos n\theta}{n}=-\log|1-e^{i\theta} | $$ para todos $0<\theta<2\pi$ . Como $\log|1-e^{i\theta} |=\log\big(2\sin\frac{\theta}{2}\big)$ tenemos que

$$ \sum_{n\geq1}\frac{\cos n\theta}{n}=-\log 2 -\log\big(\sin\frac{\theta}{2}\big),\qquad 0<\theta< 2\pi\tag{3}\label{three} $$

Ecuación $\eqref{two}$ se puede manejar de manera similar. El lado izquierdo de ser la suma de Abel de la función integrable cuadrada $h(\theta)=\sum_{n\geq1}\frac{\sin n\theta}{n}$ converge a $h(\theta)$ en cada punto de Lebesgue de $h$ . Es bien sabido que $h(\theta)=\frac{1}{2}(\pi-\theta)$ (la función de sierra) para $0<\theta <2\pi$ . Por lo tanto,

$$ \sum_{n\geq1}\frac{\sin n\theta}{n}= -\operatorname{arg}(1-e^{i\theta})=\frac{1}{2}(\pi-\theta),\qquad 0<\theta< 2\pi\tag{4}\label{four} $$

En $\eqref{three}$ Si $0<\theta<\pi$ entonces $\pi<\theta<2\pi$ y así,

\begin{aligned} -\log\Big(\cos\frac{\theta}{2}\Big)&=-\log\Big(\sin\big(\frac{\theta+\pi}{2}\big)\Big)\\ &=\log2 +\sum_{n\geq1}\frac{\cos(n(\theta+\pi))}{n}=\log2 +\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n\cos(n\theta)}{n} \end{aligned}

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